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On the asymptotic behaviour of the spectral function and discrete spectrum of the Laplace operator on a fundamental domain of Lobachevsky’s plane. (English) Zbl 0588.35068
Die vorliegende Arbeit beschäftigt sich mit dem asymptotischen Verhalten der Spektralfunktion und des diskreten Sprektrums des Laplace- Operators auf einem Fundamentalbereich der hyperbolischen Ebene \[ S=\{z| \quad z\in {\mathbb{C}},\quad Im z>0\}. \] Bezeichnet \(\Theta\) (z,z’;\(\lambda)\) die Spektralfunktion des Operators, so liefert der Autor eine Abschätzung des asymptotischen Verhaltens von \(\Theta\) (z,z;\(\lambda)\) für \(\lambda\) \(\to \infty\). Für die Anzahl N(\(\lambda)\) der Eigenwerte \(<\lambda\) des Laplace-Operators auf einem Fundamentalbereich F von S erhält der Autor im allgemeinen Fall die asymptotische Entwicklung \[ N(\lambda)=(1/4\pi)area (F)\cdot \lambda^ 2-(1/4)[\lambda \ln \lambda -(1/2)Im \ln s(\lambda)]+(1/\pi)(1-\ln 2)\cdot \lambda +o(\lambda). \] Dabei ist s(\(\lambda)\) der Reflexionskoeffizient, für den Im ln s(N)\(=O(N^ 2)\) gilt. Für den Spezialfall der Modulgruppe ergibt sich daraus \[ N(\lambda)=(1/12)\lambda^ 2-(2/\pi)\lambda \ln \lambda +(1/\pi)(2+\ln \pi -\ln 2)\lambda +o(\lambda). \] Die Beweismethode ist prinzipiell bekannt und bewährt [vgl. z.B. der Autor, Mat. Sb., Nov. Ser. 35(77), 267-316 (1954; Zbl 0056.094)] und R. Seeley [Adv. Math. 29, 244-269 (1978; Zbl 0382.35043)]. Die benötigten Tauber-Sätze werden im Anhang bereitgestellt.
Reviewer: K.-H.Jansen

MSC:
35P20 Asymptotic distributions of eigenvalues in context of PDEs
35J05 Laplace operator, Helmholtz equation (reduced wave equation), Poisson equation
11F99 Discontinuous groups and automorphic forms
42B10 Fourier and Fourier-Stieltjes transforms and other transforms of Fourier type
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Full Text: DOI
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