Algebraic independence of certain power series of algebraic numbers. (English) Zbl 0589.10035

Nishioka, Kumiko

J. Number Theory 23, 354-364 (1986).

Sei \(p\) eine Primzahl oder \(\infty\), sei \((a_k)_{k\ge 0}\) eine Folge algebraischer Zahlen \(\ne 0\) und \((e_k)_{k\ge 0}\) eine streng wachsende Folge nichtnegativer ganzer Zahlen; der Konvergenzradius \(R_p\) der Reihe \(\sum_{k\ge 0}a_k z^{e_k}\) sei positiv und in \(\vert z\vert_p<R_p\) sei \(f(z)_p\) ihr Wert. Unter geeigneten Voraussetzungen an die \(a_k\) und \(e_k\) wird für algebraische \(\alpha_1,\ldots,\alpha_n\) mit \(0< \vert \alpha_i\vert_p<R_p \), für die \(\alpha_i/\alpha_j\) bei \(i\ne j\) keine Einheitswurzel ist, zunächst (für Primzahlen \(p\)) die algebraische Unabhängigkeit über \(\mathbb{Q}\) aller \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_p\) (1\(\le i\le n\); \(\ell \ge 0)\) mittels \(p\)-adischer Methoden gezeigt.
Ein weiteres Ergebnis bringt die algebraische Unabhängigkeit der \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_p,\) betrachtet als Elemente von \(\mathbb{C}_ p\), in Zusammenhang mit derjenigen der \(f^{(\ell)}(\alpha_i)_q,\) betrachtet in \(\mathbb{C}_q\), falls \(q\) (\(\ne p)\) eine Primzahl oder \(\infty\) ist und \(0< \vert\alpha_i\vert_q<R_q\) (1\(\le i\le n)\) gilt.
Schließlich wird für \(f(z)_{\infty}:=\sum_{k\ge 0}z^{k!}\) und algebraische \(\alpha_1\), \(\alpha_2\) mit \(0< \vert\alpha_i\vert_{\infty}<1\) gezeigt: \(f(\alpha_1)_{\infty}\), \(f(\alpha_2)_{\infty}\) sind algebraisch unabhängig genau dann, wenn \(\alpha_1/\alpha_2\) keine Einheitswurzel ist. Dies bestätigt eine Vermutung von D. W. Masser im Falle \(n=2\), die inzwischen (1986) von der Autorin allgemein bewiesen werden konnte.

Reviewer: Peter Bundschuh (Köln)

MSC:

11J85	Algebraic independence; Gel’fond’s method
30B10	Power series (including lacunary series) in one complex variable

Keywords:

p-adic method; algebraic independence of power series of algebraic numbers; p-adic field

References:

[1]	Bundschuh, P; Wylegala, F.-J, Über algebraische unabhängigkeit bei gewissen nichtfortsetzbaren potenzreihen, Arch. math., 34, 32-36, (1980) · Zbl 0414.10033
[2]	Cijsouw, P.L; Tijdeman, R, On the transcendence of certain power series of algebraic numbers, Acta arith., 23, 301-305, (1973) · Zbl 0255.10038
[3]	Shiokawa, I, Algebraic independence of certain gap series, Arch. math., 38, 438-442, (1982) · Zbl 0474.10029
[4]	Turán, P, Eine neue methode in der analysis und deren anwendungen, (1953), Akadémiai Kiadó Budapest · Zbl 0052.04601