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Preuve des conjectures de Tate et de Shafarevitch [D’après G. Faltings]. (Proof of the conjecture of Tate and Shafarevich [After G. Faltings]). (French) Zbl 0591.14026
Sémin. Bourbaki, 36e année, Vol. 1983/84, Exp. 616, Astérisque 121/122, 25-41 (1985).
[For the entire collection see Zbl 0542.00005.]
Dies ist ein konziser, detailreicher Bericht über die von Faltings in seinem Beweis der Mordellschen Vermutung entwickelten Methoden [Inventiones 73, 349-366 (1983; Zbl 0588.14026)].
Im § 1 wird Faltings’ Begriff der Höhe einer abelschen Varietät über einem Zahlkörper eingeführt und die entscheidende Höheneigenschaft bewiesen: Gegeben ein Zahlkörper k, natürliche Zahlen g und d, und eine Konstante c, so gibt es nur endlich viele Isomorphieklassen abelscher Varietäten A der Dimension g mit Polarisierung des Grades d über k, deren Höhe h(A)\(\leq c\) ist. Die Darstellung ist ausführlicher als bei Faltings, und das Beispiel der elliptischen Kurven wird explizit behandelt. §§ 2,3 enthalten Faltings’ Beweise der Tate-Vermutung für die Endomorphismen abelscher Varietäten über Zahlkörpern, für die Endomorphismen abelscher Varietäten über Zahlkörpern, bzw. der Shafarevich-Vermutung. Hier lehnt sich die Darstellung recht eng an Faltings’ Originalarbeit an.
Reviewer: N.Schappacher

MSC:
14K15 Arithmetic ground fields for abelian varieties
14G05 Rational points
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
14H52 Elliptic curves
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus
Full Text: Numdam EuDML