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Functions which parametrize means. (English) Zbl 0597.26017
Der Verf. definiert nach D. Moskovitz [Am. Math. Mon. 40, 592-596 (1933; JFM 59.0537.01)] Mittelwerte von zwei Veränderlichen \(M_ f(x,y)=(xf(y)+yf(x))/(f(x)+f(y)).\) Nachdem er zeigt, daß f bis auf eine multiplikative Konstante durch M eindeutig bestimmt ist, setzt er \(f(1)=1\) voraus und beweist, daß \(M_ f\) dann und nur dann homogen ersten Grades ist, wenn f multiplikativ ist: \(f(xy)=f(x)f(y).\) Obwohl nur \(f: (0,\infty)\to (0,\infty)\) vorausgesetzt wurde, schließt der Verf. daraus, daß f eine Potenz ist. Dies gilt nur unter weiteren Voraussetzungen (etwa f stetig in wenigstens einem Punkt oder von oben beschränkt auf einem eigentlichen Intervall usw.). Wenn nun \(f(x)=x^ s\) ist, bezeichnet der Verf. die so erhaltenen \(M_ f\) mit \(M_ s\). Es wird festgestellt, daß \(M_ s\) mit \(s\in (-\infty,\infty)\) von Max zu Min abnimmt. Mit \(s=1-t\) gehen die \(M_ s\) in die von E. F. Beckenbach [Am. Math. Mon. 57, 1-6 (1950; Zbl 0035.157)] auch für mehrere Veränderliche eingehend untersuchten Ginische Mittelwerte \((x^ t+y^ t)/(x^{t-1}+y^{t-1})\) über.
Schließlich werden für streng monotone stetige f: (0,\(\infty)\to (0,\infty)\) die Mittelwerte \(V_ f(x,y)=f^{- 1}(\int^{y}_{x}f(t)dt/(y-x))\) (stillschweigend wird \(x\neq y\) vorausgesetzt; wohl soll \(V_ f(x,x)=x\) sein) untersucht. Es wird auf Zusammenhänge mit den quasilinearen Mittelwerten \(f^{- 1}(\sum^{n}_{k=1}q_ kf(x_ k))\), \((q_ k>0;\quad k=1,...,n;\quad \sum^{n}_{k=1}q_ k=1)\) hingewiesen (in Riemann-Summen von \(V_ f\) mag \(x_ k=x+k(y-x)/n,\) \(q_ k=1/n\quad (k=1,...,n)\) gewählt werden) und erwähnt, daß die wirklichen Integralanaloga der quasilinearen Mittelwerte in den vom Verf. zitierten ”Inequalities” von G. H. Hardy, J. E. Littlewood und G. Pólya [Cambridge Univ. Press (1967), S. 158; s.a. 2. Auflage 1952; Zbl 0047.053, 1. Aufl. 1934; Zbl 0010.10703)] die Stieltjes Integralmittel \(f^{- 1}(\int^{b}_{a}f(t)d\alpha (t)/[\alpha (b)-\alpha (a)])\) sind. Es wird ausgesagt, daß \(V_ f=V_ g\) dann und nur dann homogen ersten Grades ist, ”wenn \(V_ f=V_ s\) für ein reelles s ist”. Obwohl der Verf. \(V_ s\) nicht definiert, meint er wohl \[ V_ s(x,y)=(\frac{1}{s+1}(y^{s+1}-x^{s+1})/(y-x))^{1/s}\quad (s\neq - 1,0); \]
\[ V_{-1}(x,y)=(y-x)/\ln (y/x)\quad und\quad V_ 0(x,y)=\frac{1}{e}(y^ y/x^ x)^{1/(y-x)} \] für \(y\neq x\), sowie \(V_ s(x,x)=x\) für alle s. Es wird auch gezeigt, daß \(2xy/(x+y)=V_ f(x,y)\) für kein streng monotones and stetiges f besteht.
Die \(V_ f\) werden auch mit den durch \(g'(U_ g(x,y))=(g(y)-g(x))/(y- x)\) (g differenzierbar, streng monoton und konvex) definierten \(U_ g\) durch \(U_ g=V_{g'}\) in Zuammenhang gebracht. Notwendige und hinreichende Bedingungen dafür, daß ein Mittelwert ein \(U_ g\) sei, hat (in dieser Arbeit nicht zitiert) R. Bojanić gefunden [Publ. Inst. Math., Acad. Serbe Sci. 3, 219-226 (1950; Zbl 0040.179)].
Reviewer: J.Aczél

MSC:
26B35 Special properties of functions of several variables, Hölder conditions, etc.
26B25 Convexity of real functions of several variables, generalizations
26D15 Inequalities for sums, series and integrals
39B99 Functional equations and inequalities
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