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Numerical geometry - Numbers for shapes. (English) Zbl 0598.51014

O. Gross hat 1964 folgenden Satz bewiesen: Zu jedem kompakten zusammenhängenden metrischen Raum X existiert genau eine positive reelle Zahl a so, daß zu jeder endlichen Punktmenge ein Punkt existiert, für den das arithmetische Mittel der Abstände von den Punkten der Menge gleich a ist. Dieser Satz kann auf Hausdorffräume X und reellwertige stetige symmetrische Funktionen f verallgemeinert werden; anstelle der arithmetischen Mittelbildung kann man ein Borelmaß verwenden. Ist D das Maximum, das der Betrag von f auf zwei Punkten von X annimmt, so heißt \(m=a:D\) die Dispersionszahl von X. Die Autoren geben neue Beweise dieser Aussagen, beweisen weitere Sätze über die Zahlen a und m und veranschaulichen sie durch die Berechnung dieser Zahlen für konkrete Räume X. In diesem wertvollen Beitrag werden außerdem die bisher erschienen einschlägigen Arbeiten diskutiert und mehrere offene Probleme formuliert.
Reviewer: H.Brauner

MSC:

51K05 General theory of distance geometry
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