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Arithmétique des courbes elliptiques et théorie d’Iwasawa. (Arithmetic of elliptic curves and Iwasawa theory). (French) Zbl 0599.14020
Nous supposons que E (définie sur un corps de nombres \({\mathcal F})\) est une courbe elliptique à multiplication complexe et que p est un nombre premier tel que E a bonne réduction ordinaire en toute place de F au dessus de p. Soit \({\mathcal F}_{\infty}=F(E_{p^{\infty}})\) le corps obtenu en rajoutant à F les points de \(p^ n\)-torsion de E (n\(\geq 1)\). Appelons module d’Iwasawa de E/\({\mathcal F}_{\infty}\) le dual de Pontryagin du groupe de Selmer de E sur \({\mathcal F}_{\infty}\) relatif à \(p^{\infty}\). C’est un \({\mathbb{Z}}_ p[[ g({\mathcal F}_{\infty}/F)]]\)-module de type fini.
Dans le \(chapitre\quad I,\) on rappelle les résultats sur les \({\mathbb{Z}}_ p[[ T_ 1,...,T_ r]]\)-modules que seront nécessaires par la suite. Dans le \(chapitre\quad II,\) après avoir introduit les objects qui seront utilisées (par exemple divers groupes de Selmer) et les avoir comparés, on étudie la structure de G(\({\mathcal F}_{\infty}/F)\)-module du groupe de Selmer de E/\({\mathcal F}_{\infty}\) et on montre que son dual de Pontryagin est de dimension projective sur \({\mathbb{Z}}_ p[[ G({\mathcal F}_{\infty}/F)]]\) inférieure ou égale à 1 sous certaines hypothèses reliées à la conjecture de Leopoldt que nous supposerons par la suite. Dans le \(chapitre\quad III,\) on définit les hauteurs p-adiques attachées à une \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension et on donne un moyen pratique de les calculer. Dans le \(chapitre\quad IV,\) on construit une forme bilinéaire algébrique attachée à la \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension particulière \(N_{\infty}\) et on la relie à la hauteur p-adique définie dans le \(chapitre\quad III.\) Dans le \(chapitre\quad V,\) on étudie le cas d’une \({\mathbb{Z}}_ p\)-extension quelconque de F contenue dans \({\mathcal F}_{\infty}\) et on démontre l’analogue p-adique de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer pour la série caractéristique du module d’Iwasawa de E/\({\mathcal F}_{\infty}\) et l’équation fonctionnelle p-adique.

MSC:
14G25 Global ground fields in algebraic geometry
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus
14K22 Complex multiplication and abelian varieties
14H52 Elliptic curves
11R18 Cyclotomic extensions
14G10 Zeta functions and related questions in algebraic geometry (e.g., Birch-Swinnerton-Dyer conjecture)
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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