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Generation, elementary systems, and characteristics of cubic space curves. (Erzeugnisse, Elemantarsysteme und Charakteristiken von cubischen Raumencurven.) (German) JFM 06.0401.01
Der Herr Verfasser findet durch directe Abzählung einige Zahlen, welche angeben, wieviel cubische Raumcurven durch 4 gegebene Punkte gehen, und ausserdem eine aus gewissen einzelnen Bedingungen zusammengesetzte vierfache Bedingung erfüllen. Jede dieser einzelnen Bedingungen sagt entweder aus, dass eine der \(\infty^2\) Doppellsecanten gegeben ist, oder dass eine der \(\infty^1\) durch die Curve bestimmten aus einem Punkte der Curve, der zugehörigen Schmiegungsebene und der zugehörigen Tangente bestehenden Gebilde eine zwei- oder mehrfache fundamentale Bedingung erfüllt. Unter einer fundamentalen Bedingung für ein solches aus einer Geraden, einem auf hr liegenden Punkte, und einer durch sie gehenden Ebene bestehendes Gebilde verstehe man mit dem Referenten erstens jede Bedingung, welche aussagt, dass dieser Punkt auf einer gegebenen Ebene liegt, oder in einer Geraden liegt, oder gegeben ist, oder dass die erwähnte Ebene durch einen Punkt geht, oder durch eine Gerade geht, oder gegeben ist, oder dass die erwähnte Gerade eine Gerade schneidet, oder durch einen Punkt geht, oder in einer Ebene liegt, oder einem Strahlbüschel angehört oder gegeben ist; und zweitens jede Bedingung, welche aussagt, dass mehrere der eben angeführten Bedingungen gleichzeitig erfüllt werden sollen.
Die Methode der Abzählung besteht bei Herrn Sturm wesentlich in der Aufsuchung der Beziehungen zwischen den Punkten, Ebenen und Geraden, welche den von ihm berücksichtigten Bedingungen die Definition verleihen, und den Flächen, welche von den \(\infty^1\) eine zusammengesetzte 11fache Bedingung erfüllenden Curven erzeugt werden.
Am Schlusse macht Herr Sturm “auf die viel ausgedehnteren Untersuchungen” des Referenten über die Charakteristiken der cubischen Raumcurven aufmerksam. Referent erlaubt sich, bei dieser Gelegenheit hinzuzufügen, dass diese Untersuchungen nicht bloss sachlich alle Zahlen ergeben, welche angeben, wieviel cubische Raumencurvenalle möglichen fundamentalen Bedingungen (siehe oben) erfüllen, sondern auch eine Weiterentwickelung der von Chasles und Zeuthen begründeten Abzählungsmethode selbst in sich schliessen. Leider verzögert Mangel an Zeit die für die Publication bestimmte Redaction dieser Arbeiten des Referenten beträchtlich.
Gewisse der von Herrn Sturm abgeleiteten Anzahlen sind, wie er später bemerkt hat, und in einem Zusatze (Borchardt J. LXXX.) angiebt, schon von Herrn Cremona in seiner Note sur les cubiques gauches (Borchardt J. LX. p. 180) gefunden. Bemerkt sei hier schon, dass die vorliegende Abhandlung eine Fortsetzung in Borchardt J. LXXX. p. 128 hat, in welcher namentlich die Bedingung, eine Doppelsecante zu besitzen, mehr als hier berücksichtigt wird.

MSC:
14N10 Enumerative problems (combinatorial problems) in algebraic geometry
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Full Text: Crelle