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Mordell’s finite basis theorem revisited. (English) Zbl 0601.14001
Très intéressant exposé, centré sur les mémoires de Mordell, des travaux qui depuis le début du siècle ont fait faire tant de progrès à la géométrie diophantienne. Les premiers résultats sont dûs à Thue, qui, en 1909, prouva qu’il n’y a qu’un nombre fini de solutions entières de \(ax^ 2+bx+c=dy^ n\), où a,b,c,d sont entiers, \(n\geq 3\), \(a\neq 0\), \(b^ 2-4ac\neq 0\); sa méthode reposait sur l’étude des approximations diophantiennes. A partir de 1913, Mordell publia une série d’articles, consacrés initialement à l’équation \(y^ 2-k=x^ 3\), qui avait déjà une longue histoire; au début il ignorait le résultat de Thue, puis chercha à le généraliser, notamment en employant une méthode de Landau et Ostrowski publiée en 1920 et basée sur la théorie des idéaux. C’est seulement en 1922 qu’il considéra les solutions rationnelles d’une équation \(x^ 4- px^ 3-qx^ 2-rx-s=tz^ 2\), ce qui équivaut à chercher les solutions entières de \((1)\quad x^ 4-px^ 3y-qx^ 2y^ 2-rxy^ 3- sy^ 4=tz^ 2\) avec x,y premiers entre eux.
Raisonnant comme Landau et Ostrowski, il considère le corps \({\mathbb{Q}}(\theta)\) engendré par une racine \(\theta\) de \(x^ 4-px^ 3- qx^ 2-rx-s=0\); pour une solution (x,y,z) de (1), on a, par la théorie des idéaux, \(x-y\theta =\mu \eta^ 2\), où \(\mu\) appartient à une partie finie S de \({\mathbb{Q}}(\theta)\) et \(\eta\in {\mathbb{Z}}[\theta]\). Si deux solutions \((x_ 0,y_ 0,z_ 0)\) et (x,y,z) correspondent au même \(\mu\in S\), on a \((x-y\theta)(x_ 0-y_ 0\theta)=(a+b\theta +c\theta^ 2+d\theta^ 3)^ 2\) où a,b,c,d sont rationnels avec dénominateurs bornés. Un raisonnement d’élimination fournit une nouvelle solution \((x_ 1,y_ 1,z_ 1)\) de (1) satisfaisant à \(Max(| x_ 1|,| y_ 1|)\leq M.Max(| x|^{1/2},| y|^{1/2})\) et par un raisonnement de ”descente” à la Fermat on obtient une solution \((x^*,y^*,z^*)\) de (1) avec \(M(| x^*|,| y^*|)\leq {\mathfrak M}\), où \({\mathfrak M}\) ne dépend que des coefficients de l’équation (1). On savait d’autre part depuis Clebsch que les courbes de \(genre\quad 1\) avaient une représentation paramétrique par les fonctions elliptiques, ce qui permettait de définir sur la courbe une structure de groupe commutatif; sur une cubique, cette structure correspond à l’application (connue depuis Newton) qui à deux points fait correspondre le troisième point de la courbe sur la droite qui joint ces points. Les points rationnels de la courbe en forment un sous groupe, et le raisonnement de Mordell établissait que ce groupe a un système fini de générateurs.
C’est ce théorème que Weil peut généraliser dans sa thèse en prouvant, également par ”descente”, que pour une courbe de \(genre\quad >1\) définie sur un corps de nombres k, le groupe des points de la jacobienne définis sur k est de type fini, résultat connu depuis sous le nom de ”théorème de Mordell-Weil”. Peu après, Siegel déterminait toutes les équations diophantiennes \(P(x,y)=0\) à coefficients entiers qui ont une infinité de solutions entières, en combinant le théorème de Mordell-Weil et ses résultats d’approximation diophantienne.
L’A. termine en mentionnant quelques-uns des résultats d’analyse diophantienne obtenus depuis 1930: l’extension du théorème de Mordell-Weil au cas où k est un corps de type fini sur un corps premier de caractéristique quelconque, et la démonstration analogue du théorème de Néron-Severi; les efforts pour rendre ”effectifs” les théorèmes de Mordell-Weil et de Siegel, et enfin la preuve toute récente par Faltings d’une conjecture émise par Mordell dans son article de 1922, selon laquelle une courbe de genre \(\geq 2\) définie sur \({\mathbb{Q}}\) ne peut avoir qu’un nombre fini de points à coordonnées rationnelles.
Reviewer: J.Dieudonné

MSC:
14-03 History of algebraic geometry
14G05 Rational points
01A60 History of mathematics in the 20th century
11D25 Cubic and quartic Diophantine equations
11D41 Higher degree equations; Fermat’s equation
01A55 History of mathematics in the 19th century
14H45 Special algebraic curves and curves of low genus
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