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Logarithmic de Rham complexes and vanishing theorems. (English) Zbl 0603.32006
Verschwindungssätze für Cohomologieklassen (z. B. von lokal freien Garben \({\mathcal M})\) in algebraischer und komplex analytischer Geometrie betreffen ein unerschöpflich weites Feld vorhandener und noch zu erzielender Resultate: gewissermaßen ein anspruchsvolles mathematisches Standardprogramm. Die vorliegende Arbeit erzielt eine Reihe von Verschwindungssätzen für gewisse lokal freie Garben \({\mathcal M}\) auf gewissen (stets kompakten) algebraischen oder komplex analytischen Mannigfaltigkeiten. Die Resultate umfassen von einem einheitlichen Rahmen her (und lassen von hier her neu verstehen) unterschiedliche Satzfälle aus der Literatur wie z. B.: Verschwindungssätze von Kodaira-Nakano, von Bogomolov-Sommese, von Grauert-Riemenschneider. Bemerkenswert is die hier entwickelte Beweistechnik: Die anderen Orts manchmal verwendeten differentialgeometrischen \(C^{\infty}\)-Techniken (covariante \(C^{\infty}\)-Ableitungen) werden hier ersetzt durch rein algebraische/komplexanalytische Techniken, so durch gewisse covariante holomorphe Ableitungen in lokal-freien Garben \({\mathcal M}\) auf (hier kompakten) Mannigfaltigkeiten \({\mathcal X}\). Dabei müssen allerdings ”Pole” entlang von ”schönen” Ausnahmevarietäten \({\mathcal D}\subset {\mathcal X}\) zugelassen werden. In diesem Rahmen verfügt man über die von P. Deligne entwickelte Theorie der logarithmischen covarianten Ableitungen zu einer lokalfreien Garbe \({\mathcal M}\) auf \({\mathcal X}:\nabla: {\mathcal M}\to \Omega^{1}_{x}({\mathcal D})\otimes {\mathcal M}\). \(\nabla\) operiert jetzt auch auf \(\Omega^{*}_{x}({\mathcal D})\times {\mathcal M}\) und macht diesen zu einem Komplex. In diesem hat man als lokal freien Teil \(V:=Ker\nabla | U\), mit \(U:={\mathcal X}\setminus {\mathcal D}\). Verschwindungssätze betreffen nun Garben vom Typ V, \({\mathcal M}\) und \(\Omega^{p}_{x}({\mathcal D})\otimes {\mathcal M}\), entweder als Aussagen über U (§ 2) oder über Einschränkungsabbildungen von ”\({\mathcal X}\) auf \({\mathcal D}''\). I.a. werden Voraussetzungen z. B. der folgenden Art getroffen: \({\mathcal X}\) kompakt, Moishežon, \({\mathcal D}\) ”schön”, U ”schön” (z. B. affin), \({\mathcal M}\) ”schön” (z. B. gelte eine gewisse \(E_ 1({\mathcal M})\)-Entartung für \({\mathcal M}\), und eine gewisse Monodromiebedingung sei mit \(\nabla\) erfüllt). Ein Problem ist vor allem, wann die \(E_ 1({\mathcal M})\)-Entartung vorliegt. Hier hilft z. B. weiter Deligne’s Theorie der gemischten Hodge-Strukturen, ferner ein von K. Timmerscheid im ”Anhang D” der vorliegenden Arbeit bewiesenes Resultat. Die Lektüre dieser Arbeit setzt für das Verstehen der Beweise insbesondere die Kenntnis der Arbeiten (Beweistechniken) von P. Deligne voraus.
Reviewer: K.Spallek

MSC:
32Q99 Complex manifolds
32C35 Analytic sheaves and cohomology groups
32L10 Sheaves and cohomology of sections of holomorphic vector bundles, general results
32L20 Vanishing theorems
14F05 Sheaves, derived categories of sheaves, etc. (MSC2010)
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI EuDML
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