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Jacobi sums and explicit reciprocity laws. (English) Zbl 0612.12007

Man betrachtet im m-ten Kreiskörper \(K_ m\) für einen nicht in m aufgehenden Primdivisor \({\mathfrak p}\) die Jacobische Summe J(\({\mathfrak p})=- \sum (x/{\mathfrak p})^ r((1-x)/{\mathfrak p})^ s\), wobei (x/\({\mathfrak p})\) das m-te Potenzrestsymbol bezeichnet und r,s und \(r+s\not\equiv 0\) mod m vorausgesetzt sind. Die hierdurch im Bereich der Primdivisoren \({\mathfrak p}\), \({\mathfrak p} \nmid m\), von \(K_ m\) definierte Funktion erweitere man zu einem Charakter der Gruppe aller zu m primen Divisoren \({\mathfrak a}\), indem man J(\({\mathfrak a})=\prod_{{\mathfrak p}_ i | {\mathfrak a}}J({\mathfrak p}_ i)^{a_ i}\) für \({\mathfrak a}=\prod_{i}{\mathfrak p}_ i^{a_ i}\) setzt. A. Weil [Trans. Am. Math. Soc. 73, 487-495 (1952; Zbl 0048.270)] bewies, daß dieser Divisorcharakter ein Größencharakter mit einem in \(m^ 2\) aufgehenden Führer ist. Verschärfungen dieser Führerabschätzung wurden von H. Hasse [Abh. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Naturwiss. Kl. 1954, No.4 (1955; Zbl 0068.035)], dem Ref. [Math. Scand. 8, 81-96 (1960; Zbl 0204.070)] und C.-G. Schmidt [J. Number Theory 12, 283-310 (1980; Zbl 0446.12002)] gegeben.
In der vorliegenden Arbeit betrachtet Verf. den Fall, wo \(m=q^ n\) die Potenz einer ungeraden Primzahl q ist. Das Hauptresultat der Arbeit besagt, daß der Führer in \((1-\epsilon)^{2q^{n-1}}\) aufgeht, wo \(\epsilon\) eine primitive \(q^ n\)-te Einheitswurzel ist. Der Beweis benützt u.a. lokale Klassenkörpertheorie und ein explizites Reziprozitätsgesetz von K. Iwasawa [J. Math. Soc. Japan 20, 151- 165 (1968; Zbl 0256.12013)]. Ferner wird dargetan, daß für jede ungerade Primzahlpotenz \(q^ n\) Zahlen r und s existieren, derart daß der Führer der entsprechenden Jacobischen Summe genau \((1- \epsilon)^{2q^{n-1}}\) ist.
Reviewer: C.U.Jensen

MSC:

11R18 Cyclotomic extensions
11A15 Power residues, reciprocity
11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups
11L10 Jacobsthal and Brewer sums; other complete character sums
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: Numdam EuDML

References:

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