Rohrlich, David E. Jacobi sums and explicit reciprocity laws. (English) Zbl 0612.12007 Compos. Math. 60, 97-114 (1986). Man betrachtet im m-ten Kreiskörper \(K_ m\) für einen nicht in m aufgehenden Primdivisor \({\mathfrak p}\) die Jacobische Summe J(\({\mathfrak p})=- \sum (x/{\mathfrak p})^ r((1-x)/{\mathfrak p})^ s\), wobei (x/\({\mathfrak p})\) das m-te Potenzrestsymbol bezeichnet und r,s und \(r+s\not\equiv 0\) mod m vorausgesetzt sind. Die hierdurch im Bereich der Primdivisoren \({\mathfrak p}\), \({\mathfrak p} \nmid m\), von \(K_ m\) definierte Funktion erweitere man zu einem Charakter der Gruppe aller zu m primen Divisoren \({\mathfrak a}\), indem man J(\({\mathfrak a})=\prod_{{\mathfrak p}_ i | {\mathfrak a}}J({\mathfrak p}_ i)^{a_ i}\) für \({\mathfrak a}=\prod_{i}{\mathfrak p}_ i^{a_ i}\) setzt. A. Weil [Trans. Am. Math. Soc. 73, 487-495 (1952; Zbl 0048.270)] bewies, daß dieser Divisorcharakter ein Größencharakter mit einem in \(m^ 2\) aufgehenden Führer ist. Verschärfungen dieser Führerabschätzung wurden von H. Hasse [Abh. Dtsch. Akad. Wiss. Berlin, Math.-Naturwiss. Kl. 1954, No.4 (1955; Zbl 0068.035)], dem Ref. [Math. Scand. 8, 81-96 (1960; Zbl 0204.070)] und C.-G. Schmidt [J. Number Theory 12, 283-310 (1980; Zbl 0446.12002)] gegeben. In der vorliegenden Arbeit betrachtet Verf. den Fall, wo \(m=q^ n\) die Potenz einer ungeraden Primzahl q ist. Das Hauptresultat der Arbeit besagt, daß der Führer in \((1-\epsilon)^{2q^{n-1}}\) aufgeht, wo \(\epsilon\) eine primitive \(q^ n\)-te Einheitswurzel ist. Der Beweis benützt u.a. lokale Klassenkörpertheorie und ein explizites Reziprozitätsgesetz von K. Iwasawa [J. Math. Soc. Japan 20, 151- 165 (1968; Zbl 0256.12013)]. Ferner wird dargetan, daß für jede ungerade Primzahlpotenz \(q^ n\) Zahlen r und s existieren, derart daß der Führer der entsprechenden Jacobischen Summe genau \((1- \epsilon)^{2q^{n-1}}\) ist. Reviewer: C.U.Jensen Cited in 1 ReviewCited in 4 Documents MSC: 11R18 Cyclotomic extensions 11A15 Power residues, reciprocity 11S31 Class field theory; \(p\)-adic formal groups 11L10 Jacobsthal and Brewer sums; other complete character sums Keywords:Hecke characters; Jacobian sums; local class field theory; explicit reciprocity law Citations:Zbl 0048.270; Zbl 0068.035; Zbl 0204.070; Zbl 0446.12002; Zbl 0256.12013 PDFBibTeX XMLCite \textit{D. E. Rohrlich}, Compos. Math. 60, 97--114 (1986; Zbl 0612.12007) Full Text: Numdam EuDML References: [1] A. Artin and J. Tate : Class Field Theory . Benjamin (1967). · Zbl 0176.33504 [2] H. Davenport and H. Hasse : Die Nullstellen der Krongruenzzetafunktionen in gewissen zyklischen Fällen . J. reine angew. Math., 172 (1934) 151-182. · Zbl 0010.33803 [3] H. Hasse : Zetafunktion und L-Funktionen zu einem arithmetischen Funktionenkörper vom Fermatschen Typus . Abhand. der Deut. Akad. der Wissen. zu Berlin (1955). · Zbl 0068.03501 [4] K. Iwasawa : On explicit formulas for the norm residue symbol . J. Math. Soc. Japan, 20 (1968) 151-165. · Zbl 0256.12013 · doi:10.2969/jmsj/02010151 [5] C. Jensen : Über die Führer einer Klasse Heckescher Grössencharaktere . Math. Scand., 8 (1960) 81-96. · Zbl 0204.07004 · doi:10.7146/math.scand.a-10595 [6] C.-G. Schmidt : Über die Führer von Gauss’schen Summen als Grössencharaktere . J. Number Theory, 12 (1980) 283-310. · Zbl 0446.12002 · doi:10.1016/0022-314X(80)90022-0 [7] J.-P. Serre and J. Tate : Good reduction of abelian varieties . Ann. of Math., 88 (1968) 492-517. · Zbl 0172.46101 · doi:10.2307/1970722 [8] A. Weil : Number of solutions of equations in finite fields . Bull. AMS, 55 (1949) 497-508. · Zbl 0032.39402 · doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4 [9] A. Weil : Jacobi sums as Grössencharaktere . Trans. AMS, 73 (1952) 487-495. · Zbl 0048.27001 · doi:10.2307/1990804 This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. In some cases that data have been complemented/enhanced by data from zbMATH Open. This attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming completeness or a perfect matching.