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The generalized Fermat-Torricelli point and the generalized Lhuilier- Lemoine point. (English) Zbl 0613.51021
Die Arbeit betrifft die Geometrie von Dreiecken und Polytopen. Nach Fermat und Torricelli wird der Punkt \(F_ 1\) benannt, dessen Abstandssumme von den Ecken eines Dreiecks, \(\sum R_ i\), den kleinsten Wert hat, nach Lhuilier und Lemoine der Punkt \(L_ 2\), dessen Abstandsquadrate \(r^ 2_ i\) von den Dreiecksseiten die kleinste Summe bilden. Verf. zitieren als Verallgemeinerungen der erstgenannten die Punkte \(F_ t\) zu beliebig reellem t, für die jeweils \(\sum R^ t_ i\) minimal wird, und analog die Punkte \(L_ t\), für die \(\sum r^ t_ i\) einen Extremwert annimmt. Die vorliegende Arbeit untersucht verallgemeinerte L-Punkte in konvexen Polytopen des n-dimensionalen Raumes mit \(m>n\) Facetten der Dimension n-1. Hauptergebnis ist der Beweis, daß die (n-1)ten Potenzen der Abstände \(r_ i\) des Punktes \(L_ t\) von den Facetten \(a_ i\) des Polytops proportional zum (n-1)- dimensionalen Volumen \(C_ i\) von \(a_ i\) sind, also im ebenen konvexen Polyeder proportional zur Größe der Seitenfläche. Der Beweis beruht im Kern auf einem noch weiterreichenden Lemma, aus dem abschließend zugleich ein paar Nebensätze und Beispiele abgeleitet werden.
Reviewer: H.Germer

MSC:
51M20 Polyhedra and polytopes; regular figures, division of spaces
52Bxx Polytopes and polyhedra
52A20 Convex sets in \(n\) dimensions (including convex hypersurfaces)
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