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Schouten-Nijenhuis bracket and cohomology. (Crochet de Schouten-Nijenhuis et cohomologie.) (French) Zbl 0615.58029
Élie Cartan et les mathématiques d’aujourd’hui, The mathematical heritage of Elie Cartan, Semin. Lyon 1984, Astérisque, No.Hors Sér. 1985, 257-271 (1985).
[For the entire collection see Zbl 0573.00010.]
Cet article est consacré. à l’étude de la \(\Lambda\)-cohomologie d’une variété de Poisson au sens de A. Lichnérowicz [J. Differ. Geom. 12, 253-300 (1977; Zbl 0405.53024)]. Pour ceci l’auteur rappelle que le crochet de Schouten est un crochet d’algèbre de Lie graduée de degré total -1 sur \(A(M)=\oplus_{p\geq 0}A^ p(M)\) où \(A^ p(M)\) désigne les tenseurs p contravariants antisymétriques de \(M\). [cf. également R. Ouzilou in Symplectic geometry, Res. Notes Math. 80, 172-183 (1983; Zbl 0514.58010)]. Plus généralement soit \(A=\oplus_{p\geq 0}A^ p\) une algèbre graduée. Si \(D\) est un opérateur différentiel d’ordre inférieur à 2, de degré impair sur \(A\), tel que \(D1=0\) et que \(D^ 2\) (a priori d’ordre 3) soit d’ordre inférieur à \([a,b]_ D=(-1)^ p(D(ab)-Da.b-(-1)^{pk} a.Db)\) est un crochet d’algèbre de Lie graduée sur \(A\). Pour \(A(M)\) si l’on pose \(k=-1\) on peut caractériser tous les opérateurs différentiels engendrant en ce sens le crochet de Schouten. Ils se construisent tous à partir des connexions linéaires symétriques et \(D^ 2=0\) si la connexion induite dans \(\Lambda^ m TM\) (où \(m\) est la dimension de \(M\)) est plate, ce qui est par exemple toujours le cas de la connexion de Levi-Civita d’une structure riemannienne sur \(M\).
La \(\Lambda\)-cohomologie de \(M,H^*_{\Lambda}(M)\) se construit à partir de l’opérateur \(d_{\Lambda}\) sur \(A(M)\): \(d_{\Lambda}X=[\Lambda,X].d^ 2_{\Lambda}=0\) équivant à \([\Lambda,\Lambda]=0\). \(\Delta =[\iota_{\Lambda},d_{\Lambda}]\) est un opérateur de cohomologie sur \(\Omega(M)\) espace des \(p\)-formes auquel on peut associer au sens défini plus haut un crochet sur \(\Omega(M)\) faisant de \(\Omega(M)\) une algèbre de Lie graduée. En se restreignant à \(\Omega^ 1(M)\) et en notant \(\gamma_{\Lambda}\#\alpha\) le champ défini par \(<\gamma_{\Lambda^ \#}\alpha,\beta >=| \iota_{\Lambda}(\alpha_{\Lambda}\beta)\); \(\gamma_{\Lambda^ \#}\) est un homomorphisme d’algèbre de Lie de \((\Omega^ 1(M),[.,.]_{\Delta})\) sur \((A^ 1(M),[.,.])\). En fait on a muni \(\Omega^ 1(M)\) d’une structure plus riche (cf. Coste-Dazord-Weinstein: Groupoïdes symplectiques. Publications du Département de Mathématiques de Lyon - 2/A. 1987): une structure d’Algèbroïde de Lie au sens de J. Pradines [C. R. Acad. Sci., Paris, Ser. A. 264, 245-248 (1967; Zbl 0154.217)]. On a en effet la relation \[ [\alpha,f\beta]_{\Delta}=({\mathcal L}(\gamma_{\Lambda^ \#}\alpha).f)\beta +f[\alpha,\beta] \] ce qui munit \(Ker_{\Lambda_ x^{\#}}\) d’une structure d’algèbre de Lie (ce qui joue un rôle dans les Groupes de Drinfeld par exemple). Les cohomologies \(H^*_{\Lambda}(M)\) et \(H^*(M,{\mathbb{R}})\) sont reliées par \(d_{\Lambda}\Lambda^ \| \Lambda^ \partial\). Le crochet sur \(\Omega\) (M) induit toujours un crochet nul sur \(H^*(M,{\mathbb{R}})\) tandis que comme l’avait observé Lichnérowicz le crochet de Schouten induit sur \(H^*_{\Lambda}(M)\) un crochet non nul, faisant de \(H^*_{\Lambda}(M)\) une algèbre de Lie graduée dont \(\Lambda\) et \(D\Lambda\) sont dans le centre (\(D\) désignant un opérateur tel que \([.,.]=[.,.]_ D).\)
Dans uns dernière partie est traité le cas du dual d’une algèbre de Lie: \(\underline G^*\). Dans ce cas \((H_{\Lambda}(\underline G^*))\) s’identifie à \(H^*(G)\), \(C^{\infty}(\underline G^*))\) pour une représentation de \(G\) dans \(C^{\infty}(\underline G^*)\) qui induit sur \(S(\underline G)\) l’action coadjointe. \(S(\underline G)\otimes \Lambda(\underline G)\) est alors un sous complexe de \(A(\underline G^*)\) dont le cohomologie est une algèbre de Lie graduée pour le crochet induit par le crochet de Schouten. Si \(\underline G\) est semi simple ce crochet est nul.
Remarque: Les crochets de Schouten utilisés par Koszul et noté ci-dessous \([.,.]_ K\) et Lichnérowicz \([.,.]_ L\) sont reliés par les relations \[ [X,Y]_ K=(-1)^{p-1}[X,Y]_ K\text{ si }d^ 0X=p. \] D’autre part il semble qu’il faille écrire \(D_{\nabla}X=div_{\nabla}X\) si \(X\in A(M)\) et prendre \(\gamma_ W\alpha =\Lambda\) n’exists a au sens donné ici. Enfin \[ d: \Omega^ 0(M),\{.,.\})\dashv (\Omega^ 1(M),[.,.]_{\Delta}) \] est un homomorphisme d’algèbre de Lie avec la définition (usuelle?) du crochet de Poisson.
Reviewer: P.Dazord

MSC:
58J10 Differential complexes
17B56 Cohomology of Lie (super)algebras