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The Galerkin method for integral equations of the first kind with logarithmic kernel: Applications. (English) Zbl 0636.65144
Diese beiden Arbeiten enthalten ein gründliches und sorgfältiges Studium von Integralgleichungen 1. Art mit logarithmischem Kern, welche bei Dirichlet-Problemen und in der konformen Abbildung ebener Gebiete eine Rolle spielen. Im theoretischen Teil werden zunächst die Lösung von \(-\int_{\Gamma}\log | t-s| y(s)dl_ s=f(t)\) \((t\in \Gamma)\), die Gleichgewichtsverteilung, die Kapazität von \(\Gamma\), und die positive Definitheit des Integraloperators K mit logarithmischem Kern behandelt. Sodann wird die Galerkinsche Methode eingehend erläutert und Fehlerabschätzungen in der Energie-Norm gewonnen. Approximationen für Funktionale \((y,g)\) lassen sich besonders gut abschätzen. Gilt \(Kw=g\), so hat man für die Galerkin-Näherung \(y^ h\) von \(y: | (y^ h,g)- (y,g)| \leq \| y^ h-y\| \cdot \| w^ h-w\|,\) sodaß starke Konvergenz zu erwarten ist. - Im praktischen Teil werden 7 Beispiele behandelt, wobei \(\Gamma\) ein Jordanbogen oder eine Jordankurve ist. Die Galerkin-Näherungen werden aus einem Raum stückweise konstanter Funktionen entnommen, die Konvergenzrate richtet sich nach den auftretenden Ecken von \(\Gamma\). Die Beispiele zeigen gute Übereinstimmung mit der Theorie. Vgl. auch die Arbeit von G. C. Hsiao, P. Kopp und W. L. Wendland [Math. Methods Appl. Sci. 6, 280-325 (1984; Zbl 0546.65091)].
Reviewer: D.Gaier

MSC:
65R20 Numerical methods for integral equations
45E10 Integral equations of the convolution type (Abel, Picard, Toeplitz and Wiener-Hopf type)
31A25 Boundary value and inverse problems for harmonic functions in two dimensions
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