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Stationary solutions of chemotaxis systems. (English) Zbl 0637.35007
Die Arbeit befaßt sich mit Eigenschaften der stationären Lösungen eines sog. Chemotaxis-Systems, bei denen Zellen in Richtung höherer Konzentrationen gewisser chemischer Substanzen wandern, deren Produktion hinwiederum von der Zellpopulation abhängt. Bezeichnen u und v die Zell- bzw. Substanzdichte, so ergibt sich ein System nichtlinearer Diffusionsgleichungen \[ \partial u/\partial t = div(\mu(u,v) \text{grad} u-\chi(u,v) \text{grad} v), \] \[ \partial v/\partial t=\nu_ 0\Delta v+k(u,v)\text{ in }\Omega;\quad \partial u/\partial n=\partial v/\partial n=0\text{ auf } \partial \Omega. \] Der stationäre Fall \(\partial u/\partial t=\partial v/\partial t=0\) kann durch Einführung der Funktion \(\phi(s,\lambda)\) als Lösung von \(\dot r(s) = \chi(r,s)/\mu(r,s)\), \(r(1)=\lambda\), \(\lambda >0\) auf eine skalare Gleichung zurückgeführt werden: Es ist dann \(u(x)=\phi (v(x),\lambda)\) und \(\nu_ 0\Delta v+k(\phi (v,\lambda),v)=0\), wobei \(\lambda >0\) beliebig gewählt werden kann. Ähnliches gilt für die jeweils linearisierten Probleme. Damit lassen sich dann Bifurkationsuntersuchungen hinsichtlich des Parameters \(\lambda\) mit Methoden anstellen, die die Verfasserin in früheren Arbeiten entwickelt hat. Das Verhalten von \(f(v,\lambda)=(1/\nu_ 0)k(\phi (v,\lambda),v)\) bestimmt dabei natürlich die Verzweigungspunkte \((m_ 0,\lambda_ 0)\), wobei \(v(x)=m_ 0\) die konstante Lösung zum Parameter \(\lambda_ 0\) bedeutet. In einer Raumdimension zeigen alle Lösungen in einem Verzweigungsast dasselbe Muster (d.h. sie haben die gleiche Anzahl von Extremwerten). Anschließend wird die Stabilität konstanter Lösungen und von Verzweigungslösungen in der Nähe der Verzweigung untersucht; diese Untersuchungen werden durch Beispiele hinsichtlich der Wahl von \(\chi/\mu\) und k erläutert. Es handelt sich um eine anspruchslose, trotzdem lesbare und interessante Arbeit.
Reviewer: H.Neunzert

MSC:
35B32 Bifurcations in context of PDEs
35K57 Reaction-diffusion equations
35B40 Asymptotic behavior of solutions to PDEs
35B35 Stability in context of PDEs
92D50 Animal behavior
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