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Linear independence of the values of transcendental solutions of certain functional equations. (Indépendance linéaire des valeurs des solutions transcendantes de certaines équations fonctionnelles.) (French) Zbl 0644.10025

Seien \(\lambda_ 1,...,\lambda_ h\) von Null verschiedene algebraische Zahlen, seien \(\theta_ 1,...,\theta_ h\) paarweise verschiedene algebraische Zahlen, die \(| \theta_ 1| >| \theta_ 2| \geq...\geq | \theta_ h| >1\) genügen, und sei \(A(n):=\lambda_ 1\theta\) \(n_ 1+\cdot \cdot \cdot +\lambda_ h\theta\) \(n_ h\in K\setminus \{0\}\) für \(n\in {\mathbb N}_ 0\), wobei \(K\) entweder \({\mathbb Q}\) oder ein imaginär-quadratischer Zahlkörper ist. Dann beweist der Autor (deutlich mehr als) folgenden Satz über die ganze Funktion \(f(z):=\sum_{n\geq 0}(A(0) \cdot...\cdot A(n))^{-1}z^n :\) Sind \(s\in {\mathbb N}_ 0\), \(a_ 1,...,a_ t\in K\setminus \{0\}\) und gehört kein Quotient \(a_ i/a_ j\) mit \(i\neq j\) der von \(\theta_ 1,...,\theta_ h\) erzeugten multiplikativen Gruppe an, so sind 1, \(f(a_ 1),...,f(a_ t),...,f^{(s)}(a_ 1),...,f^{(s)}(a_ t)\) über \(K\) linear unabhängig. Im Fall \(| \theta_ h| =1\) benötigt der Autor weitere Voraussetzungen. Er gibt auch eine \(p\)-adische Version seines allgemeinsten Resultats an.
Offenbar sind die hier erzielten Ergebnisse eng verknüpft mit den arithmetischen Untersuchungen von Tschakaloff (Chakalov), Wallisser, Stihl, dem Referenten u.a. über ganze Lösungen gewisser Funktionalgleichungen vom Poincaréschen Typ.

MSC:

11J72 Irrationality; linear independence over a field
11J81 Transcendence (general theory)
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Full Text: DOI EuDML

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