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Arithmetical properties of values of some infinite products. (Russian) Zbl 0648.10022

Diophantine approximations 2, Collect. Artic., Moskva 1986, 63-78 (1986).
[For the entire collection see Zbl 0639.00004.]
Sei K ein imaginär-quadratischer Zahlkörper und \({\mathbb{Z}}_ k\) sein Ganzheitsring; seien \(a\in {\mathbb{Z}}_{K'}\), \(| a| >1\) und \(\alpha,\beta \in K^{\times}\) derart gewählt, daß -\(\alpha\), - \(\beta\), \(\alpha /\beta \not\in a^{{\mathbb{Z}}}\) gilt. Verf. beweist, daß bei \(\phi_ a(z):=\prod_{n\in {\mathbb{N}}}(1+za^{-n})\) für alle \(p,q\in {\mathbb{Z}}_ K\) mit \(| q| >1\) folgende Abschätzungen gelten: \[ (1)\quad \log | \phi_ a(\alpha)/\phi_ a(\beta)- p/q| >-6 \log | q| -\lambda_ 1 \log^{1/2}| q| \quad; \]
\[ (2)\quad \log \max (| \phi_ a(\alpha)-p_ 1/q|,\quad | \phi_ a(\beta)-p_ 2/q|)>-(13/6)\log | q| -\lambda_ 2 \log^{1/2}| q|. \] Sein drittes Ergebnis über \(| \phi_ a(\alpha)-p/q|\) findet sich im wesentlichen beim Ref. [Invent. Math. 9, 175-184 (1970; Zbl 0188.108)]. Alle \(\lambda\) ’s sind effektiv angebbare, von p, q unabhängige positive Konstanten.
Reviewer: P.Bundschuh

MSC:

11J17 Approximation by numbers from a fixed field
11J81 Transcendence (general theory)