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Conformal deformation to constant negative scalar curvature on noncompact Riemannian manifolds. (English) Zbl 0648.53021
Dans cet article il s’agit de déterminer des conditions suffisantes pour qu’il existe, sur une variété Riemannienne complète noncompacte, une métrique conforme complète pour laquelle la courbure scalaire \(\tilde S(x)\) est égale partout à -1. L’équation (E) à resoudre est l’équation de Yamabe où l’on veut que la nouvelle courbure scalaire \(\tilde S\) soit égale à \(-1\). La méthode utilisée est celle des sur et sous-solutions. Les AA. montrent que (E) admet une solution \(C^{\infty}\) positive s’il existe une sous-solution de (E) nonnégative et continue, \(u\not\equiv 0\), \(u\in (H^ 2_ s)_{loc}.\)
Si la courbure scalaire vérifie partout \(S(x)\leq -\epsilon <0\), on peut prendre comme sous-solution une constante petite d’où: Si la courbure scalaire S(x) est nonpositive et vérifie, en dehors d’un compact, S(x)\(\leq -\epsilon <0\), alors il existe une métrique conforme complète avec \(\tilde S=-1\). Même conclusion si au lieu de \(S(x) \leq -\epsilon <0\), on a seulement \(S(x) \leq -C[r(x)]^{-\ell}\), \(0<\ell <2\), \(r(x)\) étant la distance de x à un point donné et C une constante, mais alors il faut une hypothèse supplémentaire sur la courbure de Ricci. Enfin s’il existe une fonction \(C^{\alpha}\) à support compact qui rend la fonctionnelle de Yamabe négative, les AA. montrent que (E) admet une solution positive, mais pour que la nouvelle métrique soit complète, ils ont besoin d’être dans un des deux cas précédents.
Reviewer: T.Aubin

MSC:
53C20 Global Riemannian geometry, including pinching
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