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Comparison of Lanczos with conjugate gradient using element preconditioning. (English) Zbl 0658.65034

Domain decomposition methods for partial differential equations, 1st Int. Symp., Paris/France 1987, 250-260 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0649.00019.]
Zur Lösung von großen Gleichungssystemen \(Ax=b\) mit symmetrischen, schwach besetzten und positiv definiten Matrizen A wird der Lanczos- Prozess und das Verfahren der konjugierten Gradienten in Betracht gezogen unter Einbezug von Vorkonditionierern. Die Grundidee des Lanczos- Verfahrens wird dargestellt und seine Verbindung zur Methode der konjugierten Gradienten dargelegt. Weiter wird auf die Problematik des Verlustes der Orthogonalität der Basisvektoren und die Meisterung mit selektiver Nachorthogonalisierung verwiesen. Zur Vorkonditionierung des Gleichungssystems im Fall von finite Element Anwendungen werden vier Möglichkeiten vorgeschlagen, welche alle auf einer Produktdarstellung des Vorkonditionierers auf der Basis der Elementmatrizen basieren. Auf diese Weise wird die explizite Bildung der Matrix A wie auch des Vorkonditionierers verzichtet. Die Effizienz der Verfahren wird an zwei Beispielen dargelegt.
Reviewer: H.R.Schwarz

MSC:

65F10 Iterative numerical methods for linear systems
65F35 Numerical computation of matrix norms, conditioning, scaling
65N30 Finite element, Rayleigh-Ritz and Galerkin methods for boundary value problems involving PDEs
35J25 Boundary value problems for second-order elliptic equations

Citations:

Zbl 0649.00019