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Linear independence measures for certain numbers. (English) Zbl 0659.10039
Die ganze transzendente Funktion \(T(z,a):=\sum_{n\geq 0}a^{-n(n-1)/2} z^ n\), \(| a| >1\), ist erstmals 1921 von L. Tschakaloff arithmetisch untersucht worden, der bei a, \(\alpha_ 1,...,\alpha_ m\in {\mathbb{Q}}^{\times}\) (unter natürlichen Zusatzbedingungen) die lineare Unabhängigkeit (l.U.) von 1, \(T(\alpha_ 1,a),...,T(\alpha_ m,a)\) über \({\mathbb{Q}}\) zeigen konnte. Diese Aussage wurde von I. Shiokawa und dem Ref. [Result. Math. 7, 130-144 (1984; Zbl 0552.10021)] zu einem Maß für die l.U. quantitativ verfeinert. T. Skolem [11. Skand. Mat. Kongr., Trondheim 1949, 77-98 (1952; Zbl 0048.033)] hatte - mit unterschiedlichem Beweisansatz - sogar die l.U. von 1 und den \(T^{(j)}(\alpha_ i,a)\) (1\(\leq i\leq m\), \(0\leq j\leq n)\) für jedes \(n\in {\mathbb{N}}_ 0\) beweisen können.
Der Autor gibt hier eine quantitative Fassung des Skolemschen Resultats. Seine Beweismethode ist die von Shiokawa und dem Ref. und so reduziert sich sein Hauptsatz für \(n=0\) naturgemäß auf deren Ergebnis.
[Es sei erwähnt, daß der Autor in seiner in Math. Ann. erscheinenden Arbeit “Linear independence measures for the values of Heine’s series” (vgl. die Voranzeige in Zbl 0653.10031)] sein hier diskutiertes Hauptresultat auf eine T umfassende Funktionenklasse ausgedehnt hat.]
Reviewer: P.Bundschuh

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J85 Algebraic independence; Gel’fond’s method
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Full Text: DOI
References:
[1] P. Bundschuh and I. Shiokawa, A measure for the linear independence of certain numbers. Results in Math. 7, 130–144 (1984). · Zbl 0552.10021
[2] Th. Skolem, Some theorems on irrationality and linear independence. Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress Trondheim 1949, 77-98 (1949). · Zbl 0040.16401
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