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Overdetermined first order elliptic systems. (English) Zbl 0669.35031

Maximum principles and eigenvalue problems in partial differential equations, Proc. Conf., Knoxville/Tenn. 1987, Pitman Res. Notes Math. Ser. 175, 68-81 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0643.00013.]
Bei der Transformation von elliptischen Systemen partieller Differentialgleichungen erster Ordnung auf Systeme zweiter Ordnung mit Laplaceschem Hauptteil treten im Falle von bestimmten Systemen Radon- Hurwitz-Zahlen auf, die in gewisser Weise Maßzahlen für die Anzahl derjenigen Systeme darstellen, welche eine solche Transformation zulassen.
Im Falle von überbestimmten Systemen erster Ordnung \[ \sum^{k}_{i=1}P_ i(x)\partial u/\partial x_ i=f(x,u)\quad mit\quad x=(x_ 1,...,x_ k)\in \Omega \subset {\mathbb{R}}^ k,\quad u=(u_ 1,...,u_ n)\in {\mathbb{R}}^ n, \] f\(=(f_ 1,...,f_ m)\in {\mathbb{R}}^ m\) und \(P_ 1,...,P_ k\) \(m\times n\)-Matrizen mit \(m>n\) hat man in diesem Zusammenhang zu unterscheiden, ob \(m\geq (1/2)n(k+1)\) (und \(m<nk)\) ist - man spricht von “hoch überbestimmten” Systemen, oder ob \(m<(1/2)n(k+1)\) ist - man spricht von “nicht-hoch überbestimmten” Systemen.
Im Falle von “nicht-hoch überbestimmten” elliptischen Systemen übernehmen verallgemeinerte Radon-Hurwitz-Zahlen R(n,m) die Rolle der Radon-Hurwitz-Zahlen. Die Arbeit schließt mit einer algebraischen Behandlung dieser Zahlen R(n,m).
Für “hoch überbestimmte” Systeme kann mittels des Ranges einer (explizit konstruierbaren) Transformationsmatrix T die Elliptizität des vorliegenden Systems verifiziert werden. Weiter ergeben sich damit äußerst interessante Folgerungen, von denen nur eine hier angeführt sei: “Fügt man einem hyperbolischen System weitere Gleichungen hinzu, so daß das System dadurch hoch überbestimmt wird, so ist dieses neue System elliptisch”.
Reviewer: R.Heersink

MSC:

35J45 Systems of elliptic equations, general (MSC2000)
35F20 Nonlinear first-order PDEs

Citations:

Zbl 0643.00013