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Positive harmonic functions and hyperbolicity. (English) Zbl 0677.31006
Potential theory, surveys and problems, Proc. Conf., Prague/Czech. 1987, Lect. Notes Math. 1344, 1-23 (1988).
[For the entire collection see Zbl 0642.00008.]
Soit X un ensemble dénombrable muni d’une relation réflexive et symétrique \(\Gamma\), et d(a,b) le nombre minimum de maillons \(\in \Gamma\) joignant a et b. On définit une théorie du potentiel sur X à partir d’une fonction P: \(X\times X\to {\mathbb{R}}_+\), que est admissible si:
i) \(\exists c_ 0>0\) et \(\nu \in {\mathbb{N}}^*\) tels que d(x,y)\(\leq 1\Rightarrow \sum_{0\leq j\leq \nu}P^ j(x,y)\geq c_ 0;\)
ii) \(\exists m_ 1\in {\mathbb{N}}^*\) tel que \(P(x,y)>0\Rightarrow d(x,y)\leq m_ 1.\)
Soit G le noyau de Green de P: G(x,y)\(=\sum_{n\geq 0}P^ n(x,y)\) et, \(\forall \epsilon \in [0,1[\), \[ G^{\epsilon}(x,y)=\sum_{n\geq 0}(1- \epsilon)^{-n-1}P^ n(x,y) \] celui de \(P+\epsilon I\). Dans la suite on suppose: \(\exists \epsilon >0\) tel que \(G^{\epsilon}\) est fini, ce qui équivaut à l’existence d’une fonction finie \(\geq 0\) \(P+tI\) excessive pour un \(t>0.\)
Le résultat fondamental est une inégalité de Harnack à l’infini: une suite \(x_ 0,...,x_ m\) dans X est une \(\Phi\)-chaîne (\(\Phi\) : [0,\(\infty [\to]0,\infty [\), croissante et \(\to +\infty)\) si \(\exists U_ 0\supset...\supset U_ m\) dans X, tels que i) pour \(j=0,...,m\), \(d(x_ j,\partial U_ j)\leq 1/\Phi (0)\) et si \(j<m\), \(\Phi (0)\leq d(x_ j,x_{j+1})\leq 1/\Phi (0)\); ii) pour \(j=0,...,m-1\) et \(z\in \partial U_ j\), \(d(z,\partial U_{j+1})\geq \Phi (d(z,x_ j))\). Alors \(\exists C<\infty\) tel que si \(1<k<m:\) \(G(x_ 1,x_ m)\leq CG(x_ 1,x_ k)G(x_ k,x_ m)\). Une justification des \(\Phi\)-chaînes est que chaque \(\Phi\)-chaîne dans X converge dans le compactifié de Martin \(\hat X\) (relativement à P) vers un point minimal \(\in \partial \hat X\). Elles permettent aussi de donner une condition suffisante simple pour qu’on compactifié de X soit celui de Martin.
L’auteur applique ses résultats en prenant pour X un graphe \(\delta\)- hyperbolique au sens de Gromov, c’est-à-dire tel que \(\forall x,y,z,0\in X\), \[ (x,z)_ 0\geq \min [(x,y)_ 0,(y,z)_ 0]-\delta,\quad \delta >0,\quad o\grave u\quad (x,y)_ 0=[d(0,x)+d(0,y)-d(x,y)]. \] Il montre d’abord que la frontière géométrique de X peut être identifiée à la frontière de Martin, puis, si P est symétrique et sous-markovien, il donne un critère d’effilement en un point frontière de X, et un principe du minimum pour les fonctions \(harmoniques>0\) dans X, analogue à un résultat de Beurling dans le disque unité.
Reviewer: R.M.Hervé

MSC:
31C35 Martin boundary theory
31C05 Harmonic, subharmonic, superharmonic functions on other spaces