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A symmetry result related to some overdetermined boundary value problems. (English) Zbl 0681.35016

J. Serrin bewies 1971 [Arch. Ration. Mech. Anal. 43, 304-318 (1971; Zbl 0222.31007)] den folgenden Satz: Es sei \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) beschränkt, zusammenhängend, offen, \(\partial \Omega \in C^ 2\) und es existiert eine positive Lösung \(u\in C^ 2({\bar \Omega})\) der Gleichung \[ a(u,| \nabla u|)\Delta u+b(u,| \nabla u|)u_{x_ i}u_{x_ j}u_{x_ ix_ j}=c(u,| \nabla u\quad |) \] mit stetig differenzierbaren Funktionen a, b, c. Wenn \(u=0\) und \(\partial u/\partial \nu =\) constant auf \(\partial \Omega\), so folgt: \(\Omega\) ist eine Kugel, und u ist radialsymmetrisch bzgl. des Kugelmittelpunktes. Der Beweis benutzt Symmetrie-Argumente und eine Version des Rand-Maximum-Prinzips von Hopf. H. F. Weinberger [Arch. Ration. Mech. Anal. 43, 319-320 (1971; Zbl 0222.31008)] bewies diesen Satz für den Spezialfall \(\Delta u=-1\) mit Hilfe Rellichscher Gedankengänge. Die Verf. verallgemeinern Weinbergers Argumentation auf allgemeinere partielle Differentialgleichungen und zeigen die folgende Aussage:
Es sei \(\Omega \subset {\mathbb{R}}^ n\) beschränkt, zusammenhängend, offen, \(1<p<\infty\) und es existiere eine nichtnegative schwache Lösung u aus \(\overset\circ W_{1,p}(\Omega)\) von \(div[| \nabla u|^{-1} f'(| \nabla u|)\nabla u]=-1,\) wobei f eine positive, wachsende, zweimal stetig differenzierbare, konvexe Funktion auf \((0,\infty)\) mit zusätzlichen Eigenschaften für die Ableitungen \(f'\) und \(f''\) ist. Für \(\epsilon >0\) existiere eine offene Menge \(O(\epsilon)\supset \partial \Omega\) so, daß \(u(x)<\epsilon\) \(| | \nabla u(x)| -a| <\epsilon,\) \(a>0\) für fast alle x aus \(O(\epsilon)\cap \Omega\) bzgl. des Lebesgue-\({\mathbb{R}}^ n\)-Maßes gilt. Behauptung: \(\Omega\) ist eine Kugel und u ist radialsymmetrisch bzgl. des Kugelmittelpunktes.
Reviewer: L.Jantscher

MSC:

35B99 Qualitative properties of solutions to partial differential equations
35G30 Boundary value problems for nonlinear higher-order PDEs
35R30 Inverse problems for PDEs
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