A Riemann-Hurwitz formula for the Selmer group of an elliptic curve with complex multiplication. (English) Zbl 0682.12006

Wingberg, Kay

Comment. Math. Helv. 63, No. 4, 587-592 (1988).

Gegeben sei eine elliptische Kurve E über einem Zahlkörper F, E habe komplexe Multiplikation in dem imaginär-quadratischen Körper K. Weiterhin sei p eine Primzahl, die in K zerlegt ist, d.h. \(p={\mathfrak p}\cdot {\mathfrak p}^*\). In dem Körper F(E(\({\mathfrak p}))\) sei \(F_{\infty}\) die eindeutig bestimmte \({\mathbb{Z}}_ p\)-Erweiterung von F. Schließlich betrachte man eine (in \({\mathfrak p}^*\) unverzweigte) endliche galoissche p-Erweiterung L von \(F_{\infty}\) mit Galoisgruppe G und Ganzheitsring \({\mathfrak O}(L)\). Der Autor beschreibt eine \({\mathbb{Q}}_ p[G]\)-Modul-Zerlegung vom Pontryagin-Dualen der Selmergruppe \(H^ 1({\mathfrak O}(L),E({\mathfrak p}))\). Die Berechnung der \({\mathbb{Q}}_ p\)- Vektorraum-Dimensionen in dieser Zerlegung liefert eine Riemann-Hurwitz- Formel für die Erweiterung \(L/F_{\infty}\).

Reviewer: H.-G.Rück

MSC:

11R34	Galois cohomology
14K22	Complex multiplication and abelian varieties
14H25	Arithmetic ground fields for curves
11R18	Cyclotomic extensions

Keywords:

Riemann-Hurwitz formula; Pontryagin dual; finite Galois p-extension; Selmer group