Endlichdimensionale isotrope Räume \(I^ n_ k\) vom Isotropiegrad k. (Finite-dimensional isotropic spaces having degree of isotropy k). (German) Zbl 0682.53012

Vogler, Hans; Wresnik, Helmut

Grazer Math. Ber. 307, 46 p. (1989).

Ist A ein n-dimensionaler, reeller affiner Raum mit dem zugrundeliegenden Vektorraum \(A_ n\) und ist \(V=U_ 1\oplus U_ 2\) eine direkte Zerlegung in Unterräume \(U_ 1\), \(U_ 2\) mit dim \(U_ 1=k\), dim \(U_ 2=n-k\), dann heißen Vektoren aus \(V\setminus V_ 2\) euklidisch. Vektoren \(\vec x\) aus \(U_ 2\) heißen isotrop und gestatten in einer Basis \(\{\vec b_{n-k+1},...,\vec b_ n\}\) von \(U_ 2\) eine Darstellung \(\vec x=\sum^{k}_{m=1} x^{n-k+m}\vec b_{n- k+m}.\) Ein isotroper Vektor \(\vec x\) heißt isotrop vom Grad \(\ell\), wenn \(x^{n-k+1}=...=x^{n-k+\ell -1}=0,\) aber \(x^{n-k+1}\neq 0\) gilt. Die Größe \([\vec x]_ 1:=x^{n-k+1}\) wird als \(\ell\)-te Spanne bezeichnet.
Verff. definieren nun einen n-dimensionalen isotropen Raum \(I^ k_ n\) vom Isotropiegrad k als Paar (A,V), wobei der Abstand zweier Punkte \(\vec p\), \(\vec q\) definiert wird durch: \(d(\vec p,\vec q):=\| \vec q-\vec p\|,\) falls \(\vec q-\vec p\) euklidisch ist bzw. \(d(\vec p,\vec q):=[\vec q-\vec p]_ l,\) falls \(\vec q-\vec p\) isotrop von Grad 1 ist. Aufbauend darauf werden i.f. isotrope Bewegungen, isotrope Normalbasen, isotrope Normalprojektionen und Hyperebenen untersucht, womit die Grundlage für das Studium der Elementargeometrie in \(I^ k_ n\) geschaffen ist. Bei der Entwicklung dieser Elementargeometrie gelingt Verff. die Verallgemeinerung vieler Resultate, die der Referent in [J. Reine Angew. Math. 298, 199-217 (1978; Zbl 0367.50012)] erstmals angegeben hat. So werden u.a. Hyperkugeln und deren Eigenschaften, die Potenz einer Hyperkugel in einem Punkt bzw. einer Hyperebene, sowie lineare Hyperkugelmannigfaltigkeiten untersucht. Die Abhandlung bietet eine schönen Zugang zu Arbeiten von H. Brauner, des Referenten und K. Strubecker.

Reviewer: H.Sachs

MSC:

53A17	Differential geometric aspects in kinematics
53A40	Other special differential geometries
51M99	Real and complex geometry

Citations:

Zbl 0367.50012