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Zu einem Satz von Skolem über lineare Unabhängigkeiten von Werten gewisser Thetareihen. (On a theorem of Skolem on linear independence of values of certain theta series). (German. English summary) Zbl 0685.10025
Für \(q\in {\mathbb{Q}}^{\times}\) bezeichne f(x) die Potenzreihe \(\sum_{n\geq 0}q^{-n(n+1)/2} x^ n\) und \(\alpha_ 1,...,\alpha_ J\in {\mathbb{Q}}^{\times}\) mögen für \(i\neq j\) der Bedingung \(\alpha_ i/\alpha_ j\neq q^ m\) für alle \(m\in {\mathbb{Z}}\) genügen. Sind J und \(K\in {\mathbb{N}}_ 0\) in (explizit angegebener) Abhängigkeit von q und p nicht zu groß, so konvergiert erstens obige Potenzreihe in \({\mathbb{Q}}_ p\), p eine Primzahl oder \(\infty\), und zweitens erhält man für die lineare Unabhängigkeit über \({\mathbb{Q}}\) der Zahlen \(1,f(\alpha_ 1),...,f^{(K)}(\alpha_ 1),...,f(\alpha_ J),...,f^{(K)}(\alpha_ J)\) ein Maß der Form \[ (*)\quad | h_ 0+\sum^{J}_{j=1}\sum^{K}_{k=0}h_{jk}f^{(k)}(\alpha_ j)|_ p\quad \gg \quad (\max (| h_ 0|, | h_{jk}|))^{-L-\epsilon}. \] Dabei ist \(\epsilon \in {\mathbb{R}}_+\) beliebig und \(L\in {\mathbb{R}}_+\) kann in Abhängigkeit von q, p, J, K explizit angegeben werden.
Der Beweis erfolgt mit einer quantitativen Verfeinerung einer Methode von T. Skolem [11te Skand. Mat. Kongr., Trondheim 1949, 77-98 (1952; Zbl 0048.033)]. Das Maß (*) reduziert sich im archimedischen Fall \(p=\infty\) bei \(K=0\) auf das Resultat von I. Shiokawa und dem Referenten [Result. Math. 7, 130-144 (1984; Zbl 0552.10021)], bei beliebigem K auf das Ergebnis von M. Katsurada [Result. Math. 14, 318-329 (1988; Zbl 0659.10039)].
Reviewer: P.Bundschuh

MSC:
11J81 Transcendence (general theory)
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
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References:
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