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Memoir on discontinuous functions. (Mémoire sur les fonctions discontinues.) (French) JFM 07.0243.02

Nach einigen einleitenden Bemerkungen über den Functionsbegriff und die Stetigkeit begründet Herr Darboux die Riemann’sche Definition des bestimmten Integrals. Seine Entwickelung trifft Schritt für Schritt zusammen mit derjenigen, welche Herr P. du Bois-Reymond in der Recension über Thomae’s “Theorie der bestimmten Integrale” (siehe oben p. 153) giebt.
Als Ausgangspunkt dient derselben der neue Satz von hervorragendem Interesse: “Es sei \(f(x)\) für alle Werthe des endlichen Intervalles \((a,\; b)\) eindeutig definirt und zwischen endlichen Grenzen enthalten. Theilt man das Intervall \(b-a\) in \(n\) Theile \(\delta_1\), \(\delta_2\) \(\ldots\) \(\delta_n\) und bildet die Summen \(\sum_1^n {}_r M_r \delta_r\), \(\sum_1^n {}_r m_r \delta_r\), \(\sum_1^n {}_r \varDelta_r \delta_r\) wo \(M_r\) die obere, \(m_r\) die untere Grenze, \(\varDelta_r\) die grösste Schwankung \(M_r - m_r\) von \(f(x)\) in dem Intervalle \(x = a + \delta_1 + \cdots + \delta_{r-1}\) bis \(x = a+ \delta_1 + \cdots + \delta_{r-1} + \delta_r\) bezeichnet, so existiren für diese Summen endliche Grenzwerthe für \(\lim \delta_r = 0\)”. Diese Grenzwerthe hängen nur von der Natur der Function \(f(x)\) und dem Intervalle \((a,b)\) ab. Die willkürlichen Functionen, die nur der Bedingung der Endlichkeit unterworfen sind, zerfallen nun in zwei Klassen, je nachdem \(\lim \varSigma_r \varDelta_r \delta_r\) verschwindet oder nicht. Die erstere umfasst die integrirbaren, die zweite die nicht-integrirbaren Functionen. Die nothwendige und hinreichende Bedingung für das Nullwerdes des genannten Grenzwerthes hat bekanntlich schon Riemann angegeben.
Nun wendet sich der Herr Verfasser zur Theorie der Reihen, deren Glieder von einer Veränderlichen \(x\) abhängen. Die Convergenz in gleichem Grade durch das Intervall \(a\leqq x \leqq b\) bedingt die Stetigkeit von \(f(x) = \varSigma \varphi_n (x)\), wenn die \(\varphi _n (x)\) selbst stetige Functionen von \(x\) sind; sie gestattet den Schluss \[ \varSigma \varphi_n (x\pm 0) = f(x\pm 0), \] wenn Grenzwerthe \(\varphi_n (x+0)\) und \(\varphi_n (x-0)\) existiren; sie erlaubt endlich die Integration von \(f(x)\) über das genannte Intervall, wenn die \(\varphi_n (x)\) selbst integrabel sind. Das Integral von \(f(x)\) ist dann gleich der Summe der Integrale der Glieder. Man findet hier das seltene Beispiel einer Reihe, nämlich \[ \sum_1^{\infty} {}_n \{ -2n^2 xe^{-n^2 x^2} + 2(n+1)^2 xe^{-(n+1)^2 x^2} \} = -2xe^{-x^2}, \] welche, im Intervalle 0 bis \(x\) stetig, aber wegen der unteren Grenze nicht gleichmässig convergent, durch gliedweise Integration ein Resultat liefert, das von dem Integrale der Function verschieden ist. Es folgen noch zwei Sätze über die Ableitung und drei über die Stetigkeit einer durch eine Reihe dargestellten Function.
Die Theorie der Reihen führt zur Bildung einer Menge von stetigen Functionen, die für unendlich viele Werthe der Veränderlichen in jedem auch noch so kleinen Intervalle keine vollständigen Differentialquotienten besitzen. Man gelangt dazu zunächst durch den Satz, dass “jede Function, welche die Eigenschaft hat, dass für jeden Werth von \(x\) im endlichen Intervalle \((a,b)\) endliche Grenzwerthe \(f(x+0)\) und \(f(x-0)\) existiren, über dieses Intervall integrirbar ist.” Integrirt man eine unstetige Function, welche die eben erwähnte Eigenschaft besitzt, so findet man demnach eine stetige Function von der bezeichneten Art. Z. B. die unendliche Reihe \[ \sum_1^{\infty} {}_n \frac{(nx)}{n^8} \quad (s>1), \] wo \((x)\) den Ueberschuss von \(x\) über die nächste ganze Zahl und \((n + \frac 12) = 0\) bedeutet, ist für alle rationalen \(x\) von der Form \(\frac{p}{2q}\) unstetig, indem \(f(x-0)\) und \(f(x+0)\) von einander abweichen. Die Summe der Integrale der Glieder, welche das Integral der Function ist: \[ \sum_1^{\infty} {}_n \frac{[nx]^2}{n^{1+s}}, \] stellt somit eine stetige Function dar, für welche der vor- und rückwärts gerichtete Differentialquotient in den eben genannten Punkten von einander verschieden sind. (Dabei ist \([x] = (x)\) für alle \(x\), die nicht gleich einer ganzen Zahl \(+\frac 12\); dagegen \([n+\frac 12 ] = \frac 12 ).\)
Man erhält übrigens solche Functionen auch direct, d. i. ohne eine Integration vorzunehmen. Es sei \(\varphi (x)\) eine stetige Function, immer unterhalb \(Ax + B\) gelegen, (\(A\), \(B\) positiv), welche für alle Werthe von \(x\), ausser den ganzzahligen eine Ableitung besitzt, während für \(x=n\) der vor- und rückwärts gerichtete Differentialquotient von einander verschieden sind. Dann stellt die Reihe \(\sum_1^{\infty} {}_n a_n \varphi(nx)\), wenn \(\sum_1^{\infty} {}_n na_n\) absolut convergirt, eine stetige Function dar, welche für alle irrationalen \(x\) eine Ableitung besitzt. Für die rationalen \(x\) haben die beiden Differentialquotienten verschiedene Werthe.
Bildet man mit Hülfe der von Schwarz eingeführten Function \[ \varphi (x) = E(x) + \sqrt{x - E(x)} \] (vergl. F. d. M. V. p. 234, JFM 05.0231.04) wieder die Reihe \(\sum_1^{\infty} {}_n a_n \varphi(nx)\), wo die \(a_n\) positive Zahlen sind, welche der Bedingung genügen, dass \(\varSigma na_n\) convergirt, so hat man darin eine Function, deren vorwärts gerichteter Differentialquotient \(+\infty\) ist für alle rationalen \(x\). Bei passender Annahme der \(a_n\) giebt es ferner irrationale Werthe von \(x\), für welche der vollständige Differentialquotient \(+\infty\), und andere ebensolche, für welche er endlich ist.
Die schon von Hankel betrachtete stetige Function \[ \sum_1^{\infty} {}_n a_n (\sin nx\pi )^{\frac 32}, \] wobei \(\varSigma a_n\) absolut convergirt, hat die Eigenschaft, dass der vor- und rückwärts gerichtete Differentialquotient für alle rationalen Werthe von \(x\) entgegengesetzt sind, was geometrisch einem Rückkehrpunkte entspricht. Es nimmt also die Function in keinem auch noch so kleinen Intervalle beständig zu oder beständig ab. Für irrationale Werthe von \(x\) convergirt die Reihe der Ableitungen der Glieder im Allgemeinen, aber nicht immer, und stellt dann die Ableitung der Function dar.
Ein anderes Verhalten zeigt die unstetige Function \[ \sum_1^{\infty}{}_n \frac{a_n}{n \pi} \sin nx\pi \sin (\frac 12 \log \sin nx\pi ^2), \] (\(\varSigma a_n\) sei absolut convergent); sie hat für alle irrationalen Werthe von \(x\) einen vollständigen Differentialquotienten, für die rationalen dagegen nicht. Die stetige Function \[ \sum_1^{\infty} {}_n \frac{\sin [(n+1)! x]}{n!} \] hat für gar keinen Werth von \(x\) eine Ableitung.
Die reichhaltige Abhandlung schliesst mit der Aufstellung von unstetigen Functionen, welche eine Eigenschaft besitzen, die man sonst als unterscheidendes Merkmal der stetigen Functionen betrachtet, nämlich dass der Uebergang von einem Werthe der Function zu einem andern nicht erfolgen kann, ohne dass die Function alle Zwischenwerthe annimmt. Die Möglichkeit solcher unstetiger Functionen ist leicht einzusehen; man braucht nur anzunehmen, dass keine Grenzwerthe von \(f(x\pm h)\) existiren für \(\lim h = 0\). Man setze z. B. \(f(x) = \sin \frac 1x\) für alle von 0 verschiedenen \(x\), und nehme als \(f(0)\) einen beliebigen Werth zwischen \(-1\) und \(+1\) an. Es gehören hierher alle unstetigen, innerhalb eines gegebenen Intervalles überall definirten Functionen, welche Ableitungen von stetigen Functionen sind.
Herr Darboux erhebt für seine Darstellung die Forderung der äussersten Strenge, welcher er nach Ansicht des Berichterstatters auch gerecht geworden. Nur die Beweisführung zu Satz VI. giebt zu einem Bedenken Anlass, welches aber das Folgende nicht berührt.

MSC:

26A06 One-variable calculus
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type

Citations:

JFM 05.0231.04
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Full Text: Numdam EuDML