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Le théorème de comparaison entre cohomologies de de Rham d’une variété algébrique complexe et le théorème d’existence de Riemann. (The comparison theorem between de Rham cohomologies and the Riemann existence theorem). (French) Zbl 0709.14015
Soit (X,\({\mathcal O})\) une variété analytique complexe. On note \({\mathcal D}\) le faisceau d’opérateurs différentiels linéaires à coefficients dans \({\mathcal O}\). On note aussi D(\({\mathcal D})\) (resp. \(D^ b_ h({\mathcal D}))\) la catégorie dérivée de la catégorie abélienne des \({\mathcal D}\)-modules (à gauche) (resp. la catégorie des complexes à cohomologie bornée et holonome). Soient Z une sous- variété de X et i: \(Z\to X\) l’inclusion canonique. Pour tout complexe \({\mathcal M}\) de \(D^ b_ h({\mathcal D})\) l’auteur a introduit dans C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 303, 803-806 (1986; Zbl 0607.32007) [voir aussi l’A. “Le théorème de positivité de l’irrégularité pour les \({\mathcal D}_ X\)-modules”, dans The Grothendieck Festschrift, Vol. III, Prog. Math. 88, 83-132 (1990) les complexes de \(D^ b({\mathbb{C}}_ Z),{\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M})\) et \({\mathbb{R}}^ V_ Z({\mathcal M})\) sur Z (appelés complexes d’irrégularité de \({\mathcal M}\) le long de Z) en posant: \({\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M}:=i^ !{\mathbb{D}}{\mathbb{R}}({\mathbb{R}}{\mathcal M}(*Z))[1],\quad {\mathbb{R}}^ V_ Z({\mathcal M}):=i^{- 1}{\mathbb{S}}({\mathbb{R}}{\mathcal M}(*Z))[co\dim_ X(Z)].\) Si \({\mathcal M}\) est un complexe de \({\mathcal D}_ X\)-modules \((\epsilon D^ b({\mathcal D}_ X))\) on note \({\mathbb{D}}{\mathbb{R}}({\mathcal M}):={\mathbb{R}} \hom_{{\mathcal D}x}({\mathcal O}_ X,{\mathcal M})\) son complexe de de Rham transcendant et \({\mathbb{S}}({\mathcal M}:={\mathbb{R}} \hom_{{\mathcal D}x}({\mathcal M},{\mathcal O}_ X)\) son complexe des solutions holomorphes.
Dans ce travail l’auteur développe une nouvelle méthode de démonstration du théorème de comparaison de Grothendieck-Deligne et due théorème d’existence de Riemann. Au contraire que les preuves connues jusqu’à maintenant, cette nouvelle méthode n’utilise pas le théorème d’Hironaka sur la résolution des singularités. L’ingrédient essentiel est le théorème de positivité de l’irrégularité, qui assure que les complexes \({\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M})\) et \({\mathbb{R}}^ V_ Z({\mathcal M})\) sont des faisceaux pervers, si \({\mathcal M}\) est un \({\mathcal D}\)-module holonome et Z est une hypersurface de X (voir loc. cit). - Les résultats principaux de ce travail sont les théorèmes suivants:
Théorème 1: Soient Z une hypersurface de X et \({\mathcal M}\) un \({\mathcal D}\)-module holonome lisse sur \(X\setminus Z\). Alors \({\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M}\) est nul si et seulement si la codimension dans Z de son support est au moins égale à un.
Ce théoréme implique le théorème de comparaison de Grothendieck pour la cohomologie de de Rham.
Théorème 2: Soit \(Z'\) une sous-variété fermée de X et Z une sous-variété fermée de \(Z'\) définie localement par une équation et contenant le lieu singulier de \(Z'\). Soit \({\mathcal M}\) un \({\mathcal D}\)- module holonome de support contenu dans \(Z'\) et lisse sur \(Z'\setminus Z\). Alors \({\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M}\) est nul si et seulement si la codimension dans Z de son support est au moins égale à un.
Le théorème 2 entraîne le théorème de comparaison de Deligne.
Théorème 3: Soit \({\mathcal M}\) un \({\mathcal D}\)-module holonome. Le faisceau \({\mathbb{R}}_ Z({\mathcal M})\) est nul pour toute hypersurface Z si et seulement si l’image inverse de \({\mathcal M}\) sur tout disque complexe au- dessus de X n’a que des singularités régulières.
Dans le cadre algébrique l’analogue du théorème 3 est le suivant:
Théorème 4: Soit X une variété algébrique complexe non singulière, alors l’image inverse d’un \({\mathcal D}\)-module holonome \({\mathcal M}\) n’a que des singularités régulières à distances finie et infinie sur toute courbe non singulière au-dessus de X si et seulement si le faisceau d’irrégularité de l’image directe dans un plongement projectif de la restriction de \({\mathcal M}\) à tout ouvert affine de X est nul le long de tout diviseur de l’espace projectif.
A partir de là, l’auteur dit qu’un \({\mathcal D}\)-module holonome sur une variété analytique (resp. algébrique complexe non singulière) X est régulier si son image inverse sur tout disque complexe (resp. sur toute courbe lisse) au-dessus de X n’a que des singularités régulières (resp. n’a que des singularités régulières à distances finie et infinie). A partir des résultats précédents l’auteur redémontre la stabilité de la catégorie \(D^ b_{h,r}({\mathcal D})\) par image directe (ici X est une variété algébrique complexe non-singulière et \(D^ b_{h,r}({\mathcal D})\) est la sous-catégorie des complexes de la catégorie \(D^ b_ h({\mathcal D})\) dont la cohomologie est régulière). Il redémontre aussi le théorème de comparaison pour les \({\mathcal D}\)-modules holonomes réguliers [l’A. Comps. Math., 51, 51-88 (1984; Zbl 0566.32021)].
Le dernier paragraphe est consacré à une nouvelle preuve du théorème d’existence de Riemann. Elle est basée sur le théorème de comparaison et sur les théorèmes de prolongement des faisceaux analytiques cohérents de J. Frisch, J. Guenot et Y. T. Siu. Comme on a déjà dit, la preuve présentée ici n’utilise pas la résolution des singularités d’Hironaka. Pour montrer le théorème d’existence de Riemann pour les faisceaux constructibles élémentaires, l’auteur utilise seulement la résolution des singularités d’une surface complexe et la résolution plongée d’une courbe plane.
Reviewer: F.Castro-Jimenez

MSC:
14F40 de Rham cohomology and algebraic geometry
32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
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Full Text: DOI Numdam EuDML
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