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Killing the Akbulut-Kirby 4-sphere, with relevance to the Andrews-Curtis and Schoenflies problems. (English) Zbl 0715.57016
Die Akbulut-Kirby 4-Sphäre \(\Sigma^ 4\) besitzt eine Henkelzerlegung mit je 2 1-Henkeln und 2-Henkeln und ohne 3-Henkel; von der zugehörigen Präsentation P ist noch unbekannt, ob sie Andrews-Curtis trivial ist [s. S. Akbulut und R. Kirby, Topology 24, 375-390 (1985; Zbl 0584.57009)]. Deshalb galt \(\Sigma^ 4\) als potentielles Gegenbeispiel zur 4-dimensional differenzierbaren Poincarévermutung. In der vorliegenden Arbeit wird jedoch ein konkreter Diffeomorphismus \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) konstruiert. Er umgeht das Andrews-Curtis-Problem durch eine Folge von Henkelzerlegungen, bei der zwischendurch 3-Henkel auftreten.
Eine frühere Fassung der Arbeit ging aus von Betrachtungen zur differenzierbaren 4-dimensionalen Schoenfliesvermutung S, zu denen \(\Sigma^ 4\) Anlaß gibt. Davon verbleibt nach der Einsicht \(\Sigma^ 4\approx S^ 4\) u.a., daß - falls P nichttrivial ist - ein Beweis von S mittels Morsetheorie die Notwendigkeit der zwischenzeitlich auftretenden 3-Henkel widerspiegeln müßte.
Abschließend werden nach Cappell-Shaneson weitere topologische 4- Sphären angegeben, für die eine differenzierbare Trivialisierung noch aussteht.
Reviewer: W.Metzler

MSC:
57R60 Homotopy spheres, Poincaré conjecture
57N13 Topology of the Euclidean \(4\)-space, \(4\)-manifolds (MSC2010)
57M05 Fundamental group, presentations, free differential calculus
57M10 Covering spaces and low-dimensional topology
57N50 \(S^{n-1}\subset E^n\), Schoenflies problem
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