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Paires elliptiques. II: Classe d’Euler et indice. (Elliptic pairs. II: Euler class and index). (French) Zbl 0724.32006

Soit X une variété analytique complexe de dimension n, \({\mathcal O}_ X\) (resp. \(\Omega_ X)\) le faisceau des fonctions (resp. de n-formes) holomorphes sur X, \({\mathcal D}_ X\) le faisceau d’anneaux des opérateurs différentiels d’ordre fini; M un \({\mathcal D}_ X\)-module cohérent, car(\({\mathcal M})\) sa variété caractéristique. Une pair elliptique [voir la partie I de cet article, ibid. 311, No.2, 83-86 (1990; Zbl 0718.32011)] (\({\mathcal M},F)\) est définie comme une paire où \({\mathcal M}\) est comme ci-dessus et F un objet R-constructible F, tel que car(\({\mathcal M})\cap SS(F)YT^*_ XX\). Les AA. construient pour une telle paire la classe d’Euler: on construit une application \(Hom_{{\mathcal D}_ X}(F\otimes {\mathcal M},F\otimes {\mathcal M})\to H^ 0_ s(X,\omega_ X)\) ou \(S=\sup p({\mathcal M})\cap \sup p(F)\) et \(\omega_ X\) et le complexe dualisant sur X, et un autre morphisme de Hom(F\(\otimes {\mathcal M},F\otimes {\mathcal M})\to H^ 0_{\Lambda}(T^*X,\pi^{-1}\omega_ X)\) ou \(\Lambda =car({\mathcal M})+SS(F)^+\) \((SS(F)^+\) est l’image de SS(F) par l’application antipodale de \(T^*X).\)
Alors la classe d’Euler en (\({\mathcal M},F)\) (resp. la classe d’Euler microlocale \(\mu\) eu(\({\mathcal M},F))\) est l’image de \(id\in Hom_{{\mathcal D}_ X}(F\otimes {\mathcal M},F\otimes {\mathcal M})\) par le premier (resp. le second) morphisme.
On obtient (pour une paire elliptique (\({\mathcal M},F))\) un théorème de l’indice: \[ \chi (X;{\mathcal M},F)=\int_{X}eu({\mathcal M},F) \] où \(\chi\) (X;\({\mathcal M},F)\) est la charactéristique d’Euler-Poincaré du complexe \(R\Gamma\) (X;F\(\otimes {\mathcal M}\otimes^ L_{{\mathcal D}_ X}{\mathcal O}_ X)\); pour \({\mathcal M}={\mathcal O}_ X\) on retrouve le théorème d’indice des faisceau constructibles; pour \({\mathcal M}\) holonome et \(F={\mathbb{C}}_ X\) on retrouve le cycle caractéristique de \({\mathcal M}\) et le théorème d’indice de Kashiwara pour les systèmes holonomes. Enfin comme pour tout \({\mathcal O}_ X\)-module cohérent \({\mathcal F}\) on peut associer la paire elliptique (\({\mathcal D}_ X\otimes^{{\mathcal F}}_{{\mathcal O}_ X},{\mathbb{C}}_ X)\) on retrouve certains résultats de N. R. O’Brian, D. Toledo and Y. L. L. Tong [Am. J. Math. 103, 253- 271 (1981; Zbl 0474.14009)].

MSC:

32C38 Sheaves of differential operators and their modules, \(D\)-modules
58A10 Differential forms in global analysis
58J20 Index theory and related fixed-point theorems on manifolds
58A12 de Rham theory in global analysis
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