×

Quadratic conservation laws for equations of mathematical physics. (English. Russian original) Zbl 07244022

Russ. Math. Surv. 75, No. 3, 445-494 (2020); translation from Usp. Mat. Nauk 75, No. 3, 55-106 (2020).
The paper investigates the properties of linear differential equations in a Hilbert space that admit quadratic conservation laws. The chains of additional quadratic first integrals and some sufficient conditions for ensuring these systems to be Hamiltonian and completely integrable are given. Moreover, the general results for the Hamiltonian property and the complete integrability of these linear systems are applied to four concrete linear evolution equations in mathematical physics.

MSC:

34G10 Linear differential equations in abstract spaces
37J35 Completely integrable finite-dimensional Hamiltonian systems, integration methods, integrability tests
PDF BibTeX XML Cite
Full Text: DOI

References:

[1] Л. В. Овсянников 1978 Групповой анализ дифференциальных уравнений Наука, М. 399 pp.
[2] English transl. L. V. Ovsiannikov 1982 Group analysis of differential equations Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London xvi+416 pp. · Zbl 0485.58002
[3] P. J. Olver 1986 Applications of Lie groups to differential equations Grad. Texts in Math. 107 Springer-Verlag, New York xxvi+497 pp.
[4] V. V. Kozlov 2018 Linear Hamiltonian systems: quadratic integrals, singular subspaces and stability Regul. Chaotic Dyn.23 1 26-46 · Zbl 1400.37061
[5] В. М. Лахаданов 1975 О стабилизации потенциальных систем ПММ39 1 53-58
[6] English transl. V. M. Lakhadanov 1975 On stabilization of potential systems J. Appl. Math. Mech.39 1 45-50
[7] Р. М. Булатович 1997 Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум ПММ61 3 385-389
[8] English transl. R. M. Bulatovich 1997 The stability of linear potential gyroscopic systems when the potential energy has a maximum J. Appl. Math. Mech.61 3 371-375 · Zbl 0884.70009
[9] В. В. Козлов 1997 О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями ПММ61 3 390-397
[10] English transl. V. V. Kozlov 1997 Stabilization of the unstable equilibria of charges by intense magnetic fields J. Appl. Math. Mech.61 3 377-384 · Zbl 0881.93064
[11] С. Ю. Доброхотов, С. Я. Секерж-Зенькович 2010 Один класс точных алгебраических локализованных решений многомерного волнового уравнения Матем. заметки88 6 942-945
[12] English transl. S. Yu. Dobrokhotov and S. Ya. Sekerzh-Zen’kovich 2010 A class of exact algebraic localized solutions of the multidimensional wave equation Math. Notes88 6 894-897 · Zbl 1234.35142
[13] В. В. Козлов 1992 Линейные системы с квадратичным интегралом ПММ56 6 900-906
[14] English transl. V. V. Kozlov 1992 Linear systems with a quadratic integral J. Appl. Math. Mech.56 6 803-809 · Zbl 0792.70014
[15] A. Wintner 1934 On the linear conservative dynamical systems Ann. Mat. Pura Appl.13 1 105-112 · JFM 60.1338.03
[16] J. Williamson 1936 On the algebraic problem concerning the normal forms of linear dynamical systems Amer. J. Math.58 1 141-163 · JFM 62.1795.10
[17] J. Williamson 1940 An algebraic problem involving the involutory integrals of linear dynamical systems Amer. J. Math.62 881-911 · JFM 66.0991.02
[18] H. Koçak 1982 Linear Hamiltonian systems are integrable with quadratics J. Math. Phys.23 12 2375-2380 · Zbl 0507.70015
[19] А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов 2018 О первых интегралах линейных гамильтоновых систем Докл. РАН483 5 482-484
[20] English transl. A. B. Zheglov and D. V. Osipov 2018 On first integrals of linear Hamiltonian systems Dokl. Math.98 3 616-618 · Zbl 1408.37099
[21] А. Б. Жеглов, Д. В. Осипов 2019 Пары Лакса для линейных гамильтоновых систем Сиб. матем. журн.60 4 760-776
[22] English transl. A. B. Zheglov and D. V. Osipov 2019 Lax pairs for linear Hamiltonian systems Siberian Math. J.60 4 592-604 · Zbl 1427.37046
[23] В. В. Козлов 2018 Мультигамильтоновость линейной системы с квадратичным инвариантом Алгебра и анализ30 5 159-168
[24] English transl. V. V. Kozlov 2019 Multi-Hamiltonian property of a linear system with quadratic invariant St. Petersburg Math. J.30 5 877-883 · Zbl 1479.37058
[25] Д. В. Трещёв, А. А. Шкаликов 2017 О гамильтоновости линейных динамических систем в гильбертовом пространстве Матем. заметки101 6 911-918
[26] English transl. D. V. Treshchev and A. A. Shkalikov 2017 On the Hamiltonian property of linear dynamical systems in Hilbert space Math. Notes101 6 1033-1039 · Zbl 06769031
[27] P. A. M. Dirac 1950 Generalized Hamiltonian dynamics Canad. J. Math.2 129-148 · Zbl 0036.14104
[28] В. В. Козлов 2013 Общая теория вихрей, 2-е испр. и доп. изд. Ин-т компьютерных исследований, М.-Ижевск 324 pp.
[29] English transl. of 1st ed. V. V. Kozlov 2003 Dynamical systems X. General theory of vortices Encyclopaedia Math. Sci. 67 Springer-Verlag, Berlin viii+184 pp. · Zbl 1104.37050
[30] М. А. Шубин 2003 Лекции об уравнениях математической физики МЦНМО, М. 303 pp.
[31] M. A. Shubin 2003 Lectures on equations of mathematical physics Moscow Center for Continuous Mathematical Education, Moscow 303 pp.
[32] В. Н. Гребенев, С. Б. Медведев 2015 Гамильтонова структура для двумерных линейных уравнений теории упругости Вычислительные технологии20 5 53-64
[33] V. N. Grebnev and S. B. Medvedev 2015 Hamiltonian structure for linear two-dimensional equations of elasticity theory Vychisl. Tekhnol.20 5 53-64 · Zbl 1348.74032
[34] A. Sommerfeld 1949 Elektrodynamik Vorlesungen über theoretische Physik 3 Wiesbaden, Dieterichsche Verlagsbuchhandlung xvi+376 pp.
[35] В. В. Козлов 2019 Линейные системы с квадратичным интегралом и полная интегрируемость уравнения Шрёдингера УМН74 5(449) 189-190
[36] English transl. V. V. Kozlov 2019 Linear systems with quadratic integral and complete integrability of the Schrödinger equation Russian Math. Surveys74 5 959-961 · Zbl 1442.37079
[37] В. И. Богачев, О. Г. Смолянов 2011 Действительный и функциональный анализ: университетский курс НИЦ “Регулярная и хаотическая динамика”, М.-Ижевск 2-е испр. и доп. изд.728 pp.
[38] V. I. Bogachev and O. G. Smolyanov 2011 Real and Functional analysis: a university course Regulyarnaya i Khaoticheskaya Dinamika, Moscow-Izhevsk 2nd revised and enlarged ed., 728 pp.
[39] N. Bourbaki 1958 Éléments de mathématique. I. Les structures fondamentales de l’analyse. Livre IV: Fonctions d’une variable réelle (théorie élémentaire). Ch. 1: Dérivées. Ch. 2: Primitives et intégrales. Ch. 3: Fonctions élémentaires Actualités Sci. Indust. 1074 Hermann, Paris 2-ème éd.184 pp. · Zbl 0098.02501
[40] N. Dunford and J. T. Schwartz 1958 Linear operators Pure Appl. Math. 7, , vol. I General theory Interscience Publishers, Inc., New York, Interscience Publishers, Ltd., London xiv+858 pp.
[41] В. И. Арнольд, В. В. Козлов, А. И. Нейштадт 2002 Математические аспекты классической и небесной механики Едиториал УРСС, М. 2-е изд., перераб. и доп.416 pp.
[42] English transl. V. I. Arnold, V. V. Kozlov, and A. I. Neĭshtadt 2006 Mathematical aspects of classical and celestial mechanics Encyclopaedia Math. Sci. Dynamical systems, vol. III 3 Springer-Verlag, Berlin 3rd ed., xiv+518 pp. · Zbl 1105.70002
[43] J. Lindenstrauss and L. Tzafriri 1977 Classical Banach spaces, vol. I Ergeb. Math. Grenzgeb. 92 Sequence spaces Springer-Verlag, Berlin-New York xiii+188 pp.
[44] М. Г. Крейн 1964 Лекции по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Ин-т матем. АН Укр. ССР, Киев 186 pp.
[45] M. G. Krein 1964 Lectures on the theory of the stability of solutions of differential equations in a Banach space Institute of Mathematics, Academy of Sciences of Ukr.SSR, Kiev 186 pp.
[46] W. Thomson and P. G. Tait 2009 Treatise on natural philosophy Cambridge Library Collection 1 Cambridge Univ. Press, Cambridge Reprint of the 1883 originalxvii+508 pp.
[47] L. Kuipers and H. Niederreiter 1974 Uniform distribution of sequences Pure Appl. Math. Wiley-Interscience [John Wiley & Sons], New York-London-Sydney xiv+390 pp. · Zbl 0281.10001
[48] В. С. Владимиров 1988 Уравнения математической фиэики Наука, М. 5-е изд.512 pp.
[49] English transl. of 1st ed. V. S. Vladimirov 1971 Equations of mathematical physics Pure Appl. Math. 3 Marcel Dekker, Inc., New York vi+418 pp.
[50] В. Б. Берестецкий, Е. М. Лифшиц, Л. П. Питаевский 1968 Релятивистская квантовая теория, Ч. 1 Теоретическая физика IV(1) Наука, М. 480 pp.
[51] German transl. V. B. Berestetzki, E. M. Lifschitz, L. P. Pitajewski 1970 Lehrbuch der theoretischen Physik IVa Relativistische Quantentheorie (erste Teil) Akademie-Verlag, Berlin xvii+464 pp.
[52] V. B. Berestetskii, E. M. Lifshitz, and L. P. Pitaevskii 1968 Relativistic quantum theory, Pt. 1 Theoretical physics IV(1) Nauka, Moscow 480 pp.
[53] V. V. Kozlov 1987 Phenomena of nonintegrability in Hamiltonian systems Proceedings of the international congress of mathematiciansBerkeley, CA 1986 Amer. Math. Soc., Providence, RI 1161-1170 · Zbl 0675.58015
[54] Н. Г. Мощевитин 1991 О существовании и гладкости интеграла гамильтоновой системы определенного вида Матем. заметки49 5 80-85
[55] English transl. N. G. Moshchevitin 1991 Existence and smoothness of the integral of a Hamiltonian system of a certain form Math. Notes49 5 498-501 · Zbl 0741.70013
[56] И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов 1958 Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений Обобщенные функции Физматлит, М. Вып. 3274 pp.
[57] English transl. I. M. Gel’fand and G. E. Shilov 1967 Generalized functions 3 Theory of differential equations Academic Press, New York-London x+222 pp. · Zbl 0355.46017
[58] I. Prigogine 1962 Non-equilibrium statistical mechanics Monographs in Statistical Physics and Thermodynamics I Interscience Publishers John Wiley & Sons, Inc., New York-London viii+319 pp. · Zbl 0106.43301
[59] И. М. Гельфанд, А. Г. Костюченко 1955 О разложении по собственным функциям дифференциальных и других операторов Докл. АН СССР103 3 349-352
[60] I. M. Gelfand and A. G. Kostychenko 1955 Expansion in the eigenfunctions of differential and other operators Dokl. Akad. Nauk SSSR103 3 349-352
[61] Ю. М. Березанский 1956 О разложении по собственным функциям общих самосопряжённых дифференциальных операторов Докл. АН СССР108 3 379-382
[62] Yu. M. Berezanskii 1956 Expansion in the eigenfunctions of general selfadjoint differential operators Dokl. Akad. Nauk SSSR108 3 379-382
[63] R. D. Richtmyer 1978 Principles of advanced mathematical physics Texts Monogr. Phys. I Springer-Verlag, New York-Heidelberg xv+422 pp.
[64] А. Н. Колмогоров 1953 О динамических системах с интегральным инвариантом на торе Докл. АН СССР93 5 763-766
[65] A. N. Kolmogorov 1953 Dynamical systems with an integral invariant on a torus Dokl. Akad. Nauk SSSR93 5 763-766 · Zbl 0052.31904
[66] В. В. Козлов 2014 Уравнение Лиувилля как уравнение Шрёдингера Изв. РАН. Сер. матем.78 4 109-122
[67] English transl. V. V. Kozlov 2014 Liouville’s equation as a Schrödinger equation Izv. Math.78 4 744-757 · Zbl 1348.37120
[68] Л. И. Седов 1970 Механика сплошной среды 2 Наука, М. 568 pp.
[69] English transl. L. I. Sedov 1997 Mechanics of continuous media Ser. Theoret. Appl. Mech. 4, , vol. 2 World Sci. Publ., River Edge, NJ i-viii, 615-1286 and I1-I25
[70] И. С. Аржаных 1962 Обращение волновых операторов Изд-во АН Узб. ССР, Ташкент 164 pp.
[71] I. S. Arzhanykh 1962 Inversion of wave operators Publishing House of the Academy of Sciences of Uzb.SSR, Tashkent 164 pp.
[72] J. L. Anderson and P. G. Bergman 1951 Constraints in covariant field theories Phys. Rev. (2)83 5 1018-1025 · Zbl 0045.45505
[73] G. Vilasi 2001 Hamiltonian dynamics World Sci. Publ., River Edge, NJ xvi+440 pp.
[74] L. D. Faddeev 2007 What is complete integrability in quantum mechanics Nonlinear equations and spectral theory Amer. Math. Soc. Transl. Ser. 2 220 Amer. Math. Soc., Providence, RI 83-90 Adv. Math. Sci., 59 · Zbl 1129.81042
[75] Н. А. Славнов 2007 Алгебраический анзац Бете и квантовые интегрируемые системы УМН62 4(376) 91-132
[76] English transl. N. A. Slavnov 2007 The algebraic Bethe ansatz and quantum integrable systems Russian Math. Surveys62 4 727-766 · Zbl 1141.81012
[77] Д. В. Трещёв 2005 Квантовые наблюдаемые: алгебраический аспект Дифференциальные уравнения и динамические системы, Сборник статей Тр. МИАН 250 Наука, МАИК “Наука/Интерпериодика”, М. 226-261
[78] English transl. D. V. Treshchev 2005 Quantum observables: an algebraic aspect Proc. Steklov Inst. Math.250 211-244 · Zbl 1138.81458
[79] W. Miller, Jr., S. Post, and P. Winternitz 2013 Classical and quantum superintegrability with applications J. Phys. A46 42 423001 97 pp. · Zbl 1276.81070
[80] H.-J. Stöckmann 1999 Quantum chaos. An introduction Cambridge Univ. Press, Cambridge x+368 pp. · Zbl 0940.81019
[81] G. M. Zaslavsky 1981 Stochasticity in quantum systems Phys. Rep.80 3 157-250
[82] J. Hietarinta 1982/83 Quantum integrability is not a trivial consequence of classical integrability Phys. Lett. A93 2 55-57
[83] B. Eckhardt 1988 Quantum mechanics of classically non-integrable systems Phys. Rep.163 4 205-297
[84] L. E. Reichl 2004 The transition to chaos. Conservative classical systems and quantum manifestations Inst. Nonlinear Sci. Springer-Verlag, New York 2nd ed., xviii+675 pp. · Zbl 1061.70001
[85] I. V. Volovich 2019 Complete integrability of quantum and classical dynamical systems \(p\)-Adic Numbers Ultrametric Anal. Appl.11 4 328-334 · Zbl 1436.81036
[86] Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц 1963 Теоретическая физика III Квантовая механика. Нерелятивистская теория Физматлит, М. 2-е изд., перераб. и доп.704 pp.
[87] English transl. L. D. Landau and E. M. Lifshitz 1965 Course of theoretical physics III Quantum mechanics. Non-relativistic theory Pergamon Press, Oxford-London-Edinburgh-New York 2nd revised and enlarged ed., xiii+632 pp.
[88] E. C. Titchmarsh 1946 Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations 1 Clarendon Press, Oxford 175 pp.
[89] E. C. Titchmarsh 1958 Eigenfunction expansions associated with second-order differential equations 2 xi+404 pp.
[90] В. В. Козлов, Д. В. Трещев 2004 Полиномиальные законы сохранения квантовых систем ТМФ140 3 460-479
[91] English transl. V. V. Kozlov and D. V. Treshchev 2004 Polynomial conservation laws in quantum systems Theoret. and Math. Phys.140 3 1283-1298 · Zbl 1178.81158
[92] В. В. Козлов, Д. В. Трещёв 2004 Законы сохранения в квантовых системах на торе Докл. РАН398 3 314-318
[93] English transl. V. V. Kozlov and D. V. Treshchev 2004 Conservation laws in quantum systems on a torus Dokl. Math.70 2 807-810
[94] В. В. Козлов 2005 Топологические препятствия к существованию квантовых законов сохранения Докл. РАН401 5 603-606
[95] English transl. V. V. Kozlov 2005 Topological obstructions to the existence of a quantum conservation law Dokl. Math.71 2 300-302
This reference list is based on information provided by the publisher or from digital mathematics libraries. Its items are heuristically matched to zbMATH identifiers and may contain data conversion errors. It attempts to reflect the references listed in the original paper as accurately as possible without claiming the completeness or perfect precision of the matching.