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Collected mathematical works and posthumous scientific works. (Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass. Herausgegeben unter Mitwirkung von R. Dedekind von H. Weber.) (German) JFM 08.0231.03

Leipzig, Teubner (1876).
Bereits im Frühjahr 1872 hatten, wie wir aus der Vorrede des vorliegenden Werkes erfahren, Clebsch und Dedekind den Plan gefasst, eine Gesammtausgabe der Werke Riemann’s zu veranstalten, da die meisten dieser Abhandlungen im Buchhandel gar nicht oder nur schwer zu erhalten waren, und da in dem handschriftlichen Nachlasse Riemann’s manche schöne Untersuchung verborgen war, die der Wissenschaft nicht länger vorenthalten werden durfte. Aus diesem Nachlasse sind seitdem bereits mehrere Abhandlungen von Dedekind herausgegeben worden. Nach dem unerwarteten Tode Clebsch’s übernahm Herr H. Weber die Herausgabe der Werke Riemann’s, und brachte mit Dedekind’s Unterstützung das für die Wissenschaft so bedeutungsvolle Unternehmen zum Abschluss.
Die erste Abtheilung der Werke bilden diejenigen Abhandlungen, welche von Riemann selbst veröffentlicht sind. Diese Abhandlungen sind in kleinen Ungenauigkeiten corrigirt, und hin und wieder durch einen im Nachlass gefundenen Zusatz bereichert, im übrigen aber in unveränderter Form zum Abdruck gekommen. Es sind dies:
{I.} Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse; Inauguraldissertation, Göttingen 1851. Die Anmerkungen zu dieser Dissertation enthalten 1) einen Zusatz zu Art. 1 über den Begriff der Stetigkeit, 2) ein Beispiel zur Erläuterung des Schlusspassus in Art. 9, und 3) Ergänzungen und Erläuterungen zu Art. 17.
{II.} Ueber die Gesetze der Vertheilung von Spannungselectricität in ponderablen Körpern, wenn diese nicht als vollkommene Leiter oder Nichtleiter, sondern als dem Enthalten von Spannungselectricität mit endlicher Kraft widerstrebend betrachtet werden; Vortrag auf der Naturf. Vers. zu Göttingen, 1854.
{III.} Zur Theorie der Nobili’schen Farbenringe; Poggendorff Ann. XCV., 1855.
{IV.} Beiträge zur Theorie der durch die Gauss’sche Reihe \(F(\alpha, \beta, \gamma, x)\) darstellbaren Functionen; Gött. Abh. VII. 1857.
{V.} Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung; Gött. Nachr. 1857, No. 1.
{VI.} Theorie der Abel’schen Functionen nebst den drei einleitenden Abhandlungen; Borchardt J. LIV. 101-155.
{VII.} Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse; Berl. Monatsber. Nov. 1859.
{VIII.} Ueber die Fortpflanzung ebener Luftwellen von endlicher Schwingungsweite; Gött. Abh. VIII. 1860.
{IX.} Selbstanzeige der vorstehenden Abhandlung; Gött. Nachr. 1859, No. 19.
{X.} Ein Beitrag zu den Untersuchungen über die Bewegung eines flüaaigen gleichartigen Ellipsoides; Gött. Abh. IX. 1861.
{XI.} Ueber das Verschwinden der Theta-Functionen; Borchardt J. LXV. 1865.
Die zweite Abtheilung enthält diejenigen Abhandlungen, die nach Riemann’s Tode bereits herausgegeben sind, nämlich:
{XII.} Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe; Habilitationsschrift, 1854, Gött. Abh. XIII. Die Anmerkungen zu dieser Schrift enthalten 1) eine Erläuterung zu Art. 9, II., 2) einen Zusatz zu Art. 9, III. und 3) einen Hinweis auf einen, die im Schlussartikel befindlichen Beispiele betreffenden Aufsatz von Genocchi. (S. F. d. M. I. 131, JFM 01.0131.03).
{XIII.} Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen; Habilitationsschrift, 1854, Gött. Abh. XIII. (S. F. d. M. I. 22, JFM 01.0022.02).
{XIV.} Ein Beitrag zur Elektrodynamik; 1858, Poggendorff Ann. CXXXI.
{XV.} Beweis des Satzes, dass eine einwerthige mehr als \(2n\)-fach periodische Function von \(n\) Veränderlichen unmöglich ist; Schreiben vom 26. Oct. 1859, Borchardt J. LXXI. 197-200. (S. F. d. M. II. 208, JFM 02.0208.01).
{XVI.} Estratto di una lettere seritta in lingua Italiana il di 21. Gennaio 1864 al Sig. Professore Enrico Betti; Brioschi Ann. (1) VII. Der Inhalt betrifft die Anziehung eines homogenen geraden Cylinders mit elliptischer Basis.
{XVII.} Ueber die Fläche vom kleinsten Inhalt bei gegebener Begrenzung; Gött. Abh. XIII. Das dieser Abhandlung zu Grunde liegende Manuscript Riemann’s, aus den Jahren 1860 und 1861, enthält in gedrängter Kürze nur die Formeln und keinen Text. Es wurde im April 1866 Herrn Hattendorff von Riemann selbst zur Bearbeitung übergeben. Nach sorgfältiger Ueberarbeitung seitens des Herausgebers hat diese Abhandlung wesentliche Aenderungen erfahren. (S. F. d. M. I. 218, JFM 01.0218.01).
{XVIII.} Mechanik des Ohres; Henle u. Pfeuffer’s Z. f. rat. Medicin, (3) XXIX.
In der dritten Abtheilung sind aus Riemann’s Nachlass folgende Abhandlungen veröffentlicht:
{XIX.} Versuch einer allgemeinen Auffassung der Integration und Differentiation, 1847. Diese Erstlingsarbeit Riemann’s, die von Anschauungen ausgeht, die der Verfasser später ohne Zweifel selbst als unhaltbar hat fallen lassen, war nicht für den Druck bestimmt, enthält aber immerhin bemerkenswerthe Resultate, und ist für den Entwickelungsgang Riemann’s characteristisch.
{XX.} Neue Theorie des Rückstandes in electrischen Bindungsapparaten (1854). Diese Abhandlung kann als eine weitere Ausführung und Anwendung der Grundgedanken angesehen werden, die Riemann bereits in seinem Vortrage auf der Naturforscherversammlung (s. No. II.) ausgesprochen hatte. Riemann’s eigenthümliche Auffassung der electrischen Erscheinungen steht im innigsten Zusammenhange mit seinen naturphilosophischen Principien. Ausser den gewöhnlichen electrischen Anziehungs- und Abstossungskräften wird eine neue “antelectrische” Kraft angenommen als Ursache für das “Widerstreben des Ponderabile gegen das Enthalten von Spannungselectricität oder den electrischen Zustand.” Für die Bestimmung der electrischen Spannung und Dichtigkeit gewinnt Riemann unter diesen Annahmen zwei lineare partielle Differentialgleichungen \(2^{\text{ter}}\) Ordnung. Die Aufgabe wird dann zunächst für den einfachsten Fall gelöst, wo kein Ab- und Zufluss durch die Oberflächen stattfindet. Den Schluss bildet eine Vergleichung der Rechnung mit den Beobachtungen und die Betrachtung des Verhältnisses dieses Problems zur Electrometrie und zur Theorie verwandter Erscheinungen.
{XXI.} Zwei allgemeine Lehrsätze über lineäre Differentialgleichungen mit algebraischen Coefficienten, 20. Februar 1857. Diese Arbeit kann als eine Verallgemeinerung der Theorie der hypergeometrischen Reihe betrachtet werden; denn dieselbe Methode, nach der Riemann die Gauss’sche Reihe (s. Abh. IV.) behandelt hat, wird hier im Wesentlichen auf Functionen, die einer lineären Differentialgleichung mit algebraischen Coefficienten \(n^{\text{ter}}\) Ordnung genügen, angewendet. Zunächst definirt der Verfasser ein System von \(n\) Functionen \(y_{1}, y_{2} \ldots y_{n}\), welche für alle complexen Werthe der Veränderlichen \(x\), ausser für \(a, b, c \ldots g\), einändrig und endlich sind, und durch einen Umlauf des \(x\) um einen dieser Verzweigungswerthe in lineare Functionen der früheren Werthe mit constanten Coefficienten übergehen. Als zu einer und derselben Klasse gehörig werden sämmtliche Systeme angesehen, für welche die Verzweigungswerthe und die um sie stattfindenden Substitutionen gegebene, einer Bedingungsgleichung genügende Werthe haben. Zwischen je \(n + 1\) Systemen, die derselben Klasse angehören, besteht eine lineare homogene Gleichung, deren Coefficienten ganze Functionen von \(x\) sind. Daraus folgt, dass die Functionen \(y\) eines Systems einer Differentialgleichung \(n^{\text{ter}}\) Ordnung genügen, deren Coefficienten ganze Functionen von \(x\) sind, und dass jedes derselben Klasse angehörige System sich in diese Functionen und ihre \(n - 1\) ersten Differentialquotienten linear mit rationalen Coefficienten ausdrücken lässt. Im Folgenden wird dann die Form der Differentialgleichung näher bestimmt.
{XXII.} Commentatio mathematica, qua respondere tentatur questioni ab \(\text{III}^{\text{ma}}\) Academia Parisiensi propositae: “Trouver quel doit être l’état calorifique d’un corps solide homogéne indéfini pour qu’un système de courbes isothermes, à un instant donné, restent isothermes après un temps quelconque, de telle sorte que la température d’un point puisse s’exprimer en fonction du temps et de deux autres variables indépendantes” (1861). Das Originalmanuscript dieser Arbeit über isotherme Curven wurde dem Herausgeber durch die Güte des beständigen Secretärs der Pariser Academie, Herr Damas, zur Verfügung gestelt. Die Arbeit erhielt den Preis nicht, weil die Wege, auf denen die Resultate gefunden waren, nicht vollständig angegeben sind; zu der beabsichtigten vollständigen Bearbeitung gelangte Riemann seines Gesundheitszustandes wegen leider nicht. Was dieser Arbeit ein besonderes Interesse verleiht, das sind die Untesuchungen Riemann’s über die allgemeinen Eigenschaften der mehrfach ausgedehnten Mannigfaltigkeit, die hier in ihren Grundzügen angedeutet (vgl. Abh. XIII.) und auf die Lösung des Problems angewendet werden, einen homogenen Differentialausdruck \(2^{\text{ter}}\) Ordnung mit variablen Coefficienten \(\sum_{\iota, \iota'} b^{\iota . \iota'} ds_{\iota} ds_{\iota}'\), als Summe von Quadraten \(\sum_{\iota} dx_{\iota}^{2}\) darzustellen. Zu diesem Problem gelangt nämlich Riemann, indem er zunächst für ein nicht homogenes Medium die Temperatur als Function der Zeit und zweier Variabeln so darstellt, dass ein System isothermer Curven isotherm bleibt, was zu einer linearen partiellen Differentialgleichung mit veränderlichen Coefficienten führt, die durch Einführung neuer Variabeln in die Form \[ \frac{\partial^{2}u}{\partial x_1^2} + \frac{\partial^{2} u}{\partial x_2^2} + \frac{\partial^{2} u}{\partial x_3^2} = c \frac{\partial u}{\partial t} \] transformirt werden muss. Die Anmerkungen zu dieser Abhandlung sollen theils den Zusammenhang erläutern, in dem die vorstehenden Untersuchungen mit der Riemann’schen Theorie des Krümmungsmaasses einer allgemeinen Mannigfaltigkeit stehen; theils enthalten sie die wirkliche Ausführung der sehr verwickelten Rechnungen, soweit dieselbe aus noch vorhandenen Bruchstücken wieder herzustellen möglich war.
{XXIII.} Sullo svolgimento del quotiente di due serie ipergeometriche in frazione continua infinita (1863). Das nur zum Theil ausgeführte Manuscript ist von Herrn Schwarz ergänzt worden. Es handelt sich um die Kriterien der Convergenz der von Gauss (Comm. Götting. 1812) gegebenen Entwickelung des Quotienten der beiden hypergeometrischen Reihen \[ P^{\alpha} \left( \begin{matrix}\l & \l & \l\\ \alpha & \beta & \gamma\\ \alpha' & \beta' & \gamma' \end{matrix}\;x \right) = P \quad \text{und} \quad P^{\alpha} \left( \begin{matrix}\l\;& \l\;& \l\\ \alpha & \beta + 1 & \gamma\\ \alpha' - 1 & \beta ' & \gamma' \end{matrix}\;x \right) = Q \] in einen unendlichen Kettenbruch von der Form \[ a +_{\displaystyle\frac{b_1 x}{1 +}_{\displaystyle\frac{b_2 x}{1 +}_{\cdots}}} \] Die beiden Functionen \(P_{n}, Q_{n}\), welche aus den \(P, Q\) entstehen, wenn man für \(\alpha, \alpha'\) resp. \(\alpha + n, \alpha' - n\) setzt, werden durch bestimmte Integrale dargestellt, und dann werden die asymptotischen Werthe dieser Integrale für unendlich grosse Werthe von \(n\) bestimmt. Es ergiebt sich, dass die Näherungswerthe des Kettenbruches für alle Werthe von \(x\), welche nicht reell und \(\geqq\) 1 sind, mit wachsendem Index gegen den Werth des Quotienten \(P:Q\) convergiren. Es ist dies dasselbe Resultat, zu dem Herr Thomé (Borchardt J. LXVI.) gelangt ist, indem er die Ausdrücke benutzte, die Herr Heine für Kugelfunctionen mit unendlich grossem Index gegeben hat.
{XXIV.} Ueber das Potential eines Ringes. Die bekannte Potentialgleichung wird unter der Bedingung gelöst, dass die Function \(V\) an der Oberfläche einer Ringfläche mit kriesförmigem Querschnitt gegeben ist. Durch passende Wahl der Veränderlichen gelangt man zu einer Differentialgleichung von der Form \[ t^2 (t^2 + 1)\; \frac{d^2 P}{dt^2} + t^3 \frac{dP}{dt} - (m^2 t^2 + n^2 - \tfrac 14)P = 0, \] deren Lösung auf mannigfache Art ermöglicht wird durch hypergeometrische Reihen mit besonderem vierten Element, die sich durch ganze elliptische Integrale erster und zweiter Gattung ausdrücken lassen. Dasselbe Problem ist behandelt in der Arbeit von C. Neumann: “Theorie der Electricitäts- und Wärme-Vertheilung in einem Ring.” Halle 1864.
{XXV.} Gleichgewicht der Electricität auf Cylindern mit kreisförmigem Querschnitt und parallelen Axen. In dieser Abhandlung, für welche, wie auch für die folgenden, ausser wenigen Andeutungen nur Formeln vorhanden waren, wird die Methode auseinandergesetzt, welche dazu dient, Abbildungsaufgaben zu lösen, wenn das abzubildende, einfach oder mehrfach zusammenhängende Gebiet von geradlinigen Strecken und von Kreisbogen begrenzt ist.
{XXVI.} Beispiele von Flächen kleinsten Inhalts bei gegebener Begrenzung. Die erste Minimalfläche ist eine solche, die von drei Geraden begrenzt ist, welche sich in zwei Punkten schneiden, so dass die Fläche zwei Ecken inihrer Begrenzung und einen in’s Unendliche verlaufenden Sector besitzt. Während das Resultat für dieses Problem von Riemann kurz aber vollständig angegeben ist, findet sich im Nachlass in Bezug auf das zweite Beispiel nur die Andeutung der Möglichkeit der Lösung. Hier ist die gesuchte Fläche vom kleinsten Inhalt begrenzt von zwei in parallelen Ebenen gelegenen geradlinigen Polygonen ohne einspringende Ecken und mit je einem Umlauf. Die vollständige Durchführung des Problems ist dem Herrn Herausgeber zu verdanken. Besondere Fälle dieser Aufgabe hat bekanntlich Herr Schwarz behandelt (Bestimmung einer speciellen Minimalfläche, Berlin 1871).
{XXVII.} Fragmente über die Grenzfälle der elliptischen Modulfunctionen (1852). Das erste Fragment ist ein Zusatz zu \(\S\) 40 der Jacobi’schen Fundamenta. Es werden die dortigen Reihen für den Grenzfall \(q = 1\) untersucht; dadurch entstehen Functionen einer Variabeln, die für jeden Werth des Argumentes unstetig sind. Diese Reihen convergiren für \(q = 1\) zum grössten Theil nicht, aber durch Integration können convergente Reihen aus ihnen abgeleitet werden. Herr Dedekind bemerkt in den Erläuterungen zu den vorstehenden Fragmenten, dass Riemann sowohl mit diesem ersten Fragmente als auch mit dem zweiten, das unter demselben Gesichtspunkte die Reihen für \(\log k, \log k'\) und \(\log \frac{2k}{\pi}\) untersucht, den Zweck verfolgt habe, zu seiner Abhandlung: “Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe” Beispiele von Functionen zu bilden, die in jedem Intervall unendlich oft unstetig werden. Herr Dedekind verfolgt die Methode, welche Riemann benutzt, um die Modulfunction für den Fall zu untersuchen, wo das complexe Periodenverhältniss \(\frac{k'i}{k}\) sich einem rationalen Werthe nähert, weiter, und gelangt zu einer sehr interessanten Anwendung auf die Theorie der unendlich vielen Formen der Thetafunctionen, d. h. auf die Bestimmung der bei der Transformation erster Ordnung auftretenden Constanten, welche von Jacobi und Hermite auf die Gauss’schen Summen, also auf die Theorie der quadratischen Reste zurückgeführt ist.
{XXVIII.} Fragment aus der Analysis Situs. Dieser kleine Aufsatz enthält leider nur wenige und zu kurz gefasste Andeutungen über die allgemeine Theorie des Zusammenhangs von Mannigfaltigkeiten. Es wird die Definition für eine mehrfach ausgedehnte Mannigfaltigkeit und ihre Querschnitte gegeben, und daran ein allgemeiner Satz über die Zerlegung durch Querschnitte geschlossen.
{XXIX.} Convergenz der \(p\)-fach unendlichen Thetareihe.
{XXX.} Zur Theorie der Abel’schen Functionen für den Fall \(p = 3\). Die beiden zuletzt genannten Abhandlungen sind Bruchstücke aus einer Riemann’schen Vorlesung aus den Jahren 1861 und 1862, und nach einem von G. Roch geführten Hefte bearbeitet. In der ersten Abhandlung ist der Beweis der Convergenz der \(p\)-fach unendlichen Thetareihe geführt auf Grund eines allgemeinen Satzes, nach welchem die Untersuchung der Convergenz einer unendlichen Reihe mit positiven Gliedern stets zurückgeführt werden kann auf die Untersuchung eines bestimmten Integrals. Die zweite Abhandlung betrifft die Theorie der “Abel’schen Functionen”
\(\sqrt{\sum_{\nu = 1 \ldots p} c_{\nu} \varphi_{\nu}(s, z)}\) (betr. des \(\varphi\) s. Abel’sche Functionen Art. 23), welche in \(p-1\) Punkten unendlich klein von der ersten Ordnung werden, für den Fall \(p=3\). Die Anzahl dieser Abel’schen Functionen ist allgemein \(2^{p-1} (2^{p} - 1)\), also hier = 28. Die Untersuchung derselben basirt auf dem Begriff der “Charakteristik”, eines diesen Functionen zugehörigen Zahlencomplexes, und auf dem Begriff der “Gruppencharakteristik”, d. h. der Summe der Charakteristiken aller Paare von 6 Abel’schen Functionen, die zu einer Gruppe gehören, d. h. beim Ueberschreiten der Querschnitte dieselben Factoren annehmen.
Ein “Anhang” zu diesen mathematischen Werken Riemann’s enthält einige Fragmente philosophischen Inhalts: I. Zur Psychologie und Metaphysik; II. Erkenntnisstheoretisches; III. Naturphilosophie. Wenn auch diese scharfsinnigen philosophischen Speculationen Riemann’s auf das Eugste mit seinen mathematischen Arbeiten zusammenhängen, so müssen wir doch darauf verziehten, an dieser Stelle den Inhalt derselben wiederzugeben, zumal da ihre knappe Darstellung nur schwer einen Auszug gestattet.
Allen Verehrern Riemann’s hat Herr Dedekind eine sehr dankenswerthe Beigabe geliefert in dem dem Werke beigefügten “Lebenslauf Bernhard Riemann’s”. Es war nicht die Absicht des Herrn Verfassers, Riemann’s wissenschftliche Bedeutung zu charakterisiren, sondern auf Grundlage von Briefen und anderen Mttheilungen seitens der Riemann’schen Familie in einfachen Zügen eine biographische Skizze von dem Manne zu entwerfen, von dem man mit Recht behaupten kann: Er war gross, nicht bloss als Gelehrter, sondern auch als Mensch.

MSC:

01A75 Collected or selected works; reprintings or translations of classics
01A70 Biographies, obituaries, personalia, bibliographies
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