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Codimension one foliations in \({\mathbb{C}}P^ n,\;n\geq 3\), with Kupka components. (English) Zbl 0823.32014
Camacho, C. (ed.) et al., Complex analytic methods in dynamical systems. Proceedings of the congress held at Instituto de Matemática Pura e Aplicada, IMPA, Rio de Janeiro, Brazil, January 1992. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 222, 93-133 (1994).
Sei \(M\) eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension \(n \geq 3\). Eine 2- codimensionale holomorphe Blätterung \({\mathcal F}\) auf \(M\) wird lokal durch integrable holomorphe Pfaffsche Formen \(\omega\) beschrieben. Wir dürfen annehmen, daß die Koeffizienten von \(\omega\) bei einer Darstellung in einer Karte teilerfremd sind. In einem Punkt \(x \in M\) ist \({\mathcal F}\) vom Kupka-Typ, wenn \(\omega (x) = 0\) und \(d \omega (x) \neq 0\) ist. Dann ist \(\omega\) dort in einer geeigneten Karte von der Form \(\omega = A(z_ 1, z_ 2) dz_ 1 + B(z_ 1, z_ 2) dz_ 2\) mit \(A(0,0) = B(0,0) = 0\), \({\partial B \over \partial z_ 1} (0,0) - {\partial A \over \partial z_ 2} (0,0) \neq 0\). Deshalb bilden die Punkte vom Kupka-Typ eine lokal abgeschlossene analytische Untermannigfaltigkeit \(K({\mathcal F})\) von \(M\) der Codimension 2. Eine irreduzible Komponente \(K\) der Singularitätenmenge \(S({\mathcal F})\) von \({\mathcal F}\) heißt Kupka-Komponente, wenn \(K \subset K ({\mathcal F})\) gilt. Derartige Komponenten sind Gegenstand der Arbeit im Fall \(M = \mathbb{P}^ n (n \geq 3)\).
Eine 1-codimensionale Blätterung auf \(\mathbb{P}^ n\) kann beschrieben werden durch eine integrable Differentialform \(\omega = \sum^ n_{j = 0} \omega_ j dt_ j\) mit homogenen Koeffizienten desselben Grades und mit der Eigenschaft \(\sum^ n_{j = 0} \omega_ j t_ j = 0\).
Wichtig ist das folgende Beispiel: Seien \(f,g\) homogene Polynome in \(\mathbb{C}^{n + 1}\), \(n \geq 3\). Wir notieren \(f \overline {\pitchfork} g\), wenn sich \(f^{-1} (0)\) und \(g^{-1} (0)\) in gewissem Sinne transversal schneiden. Sei \({\deg g \over \deg f} = {p \over q}\), \(p,q\) teilerfremd. Denn definiert \(\omega : = qgdf - pfdg\) eine Blätterung \({\mathcal F} (\omega)\) auf \(\mathbb{P}^ n\) mit \({f^ q \over g^ p}\) als einem ersten Integral.
Im Theorem A der Arbeit geht es um die Darstellung einer Blätterung auf \(\mathbb{P}^ n\) in der gerade beschriebenen Form bei Vorliegen einer geeigneten Kupka-Komponente.
Im Theorem B der Arbeit geht es um die Darstellung einer Blätterung auf \(\mathbb{P}^ n\) mit Hilfe einer geschlossenen meromorphen 1-Form sowie um ein Kriterium dafür, daß \({\mathcal F}\) von logarithmischem Typ ist.
For the entire collection see [Zbl 0797.00019].

MSC:
32S65 Singularities of holomorphic vector fields and foliations
37C85 Dynamics induced by group actions other than \(\mathbb{Z}\) and \(\mathbb{R}\), and \(\mathbb{C}\)
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