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\(p\)-adic semi-stable representations. (Exposé III: Représentations \(p\)-adiques semi-stables.) (French) Zbl 0865.14009
Fontaine, Jean-Marc (ed.), Périodes \(p\)-adiques. Séminaire de Bures-sur-Yvette, France, 1988. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 223, 113-184 (1994).
Soit \(K\) un corps, local \(\overline K\) la clôture algébrique de \(K\) et \(G_K= \text{Gal} (\overline K/K)\). Nous notons \(k\) le corps résiduel de \(K\), \(K_0\) le corps des fractions des vecteurs de Witt à coefficients dans \(k\) et \(\sigma\) le Frobenius absolu opérant sur \(k\) (par \(x\mapsto x^p)\) et sur \(K_0\) par fonctorialité.
Nous notons \(\underline {\text{Rep}} (G_K)\) la catégorie des représentations \(p\)-adiques (de \(G_K)\), i.e. la catégorie dont les objets sont les \(\mathbb{Q}_p\)-espaces vectoriels de dimension finie munis d’une action linéaire et continue de \(G_K\) et les flèches les applications \(\mathbb{Q}_p\)-linéaires qui commutent à l’action de \(G_K\). Le but essentiel de cet exposé est d’introduire certaines sous-catégories pleines de \(\underline {\text{Rep}} (G_K)\). Ces catégories sont stables par les opérations “usuelles” de l’algèbre linéaire, i.e. par sous-objet, quotient, somme directe, produit tensoriel, contragrédiente, et contiennent la représentation unité. Ce sont
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{HT} (G_K)\) des représentations de Hodge-Tate,
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{dR} (G_K)\) des représentations de de Rham,
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{cris} (G_K)\) des représentations cristallines ou à bonne réduction,
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{st} (G_K)\) des représentations semi-stables,
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{pcris} (G_K)\) des représentations potentiellement cristallines, ou ayant potentiellement bonne réduction,
la catégorie \(\underline {\text{Rep}}_{pst} (G_K)\) des représentations potentiellement semistables.
A chacune de ces catégories, on associe un foncteur additif, exact et fidèle, compatible avec le produit tensoriel, de cette catégorie dans une catégorie de structures algébriques convenable, tout à fait élémentaires, mais éventuellement un peu compliquées: soit \(V\) une représentation \(p\)-adique de dimension \(d\); alors,
si \(V\) est de Hodge-Tate, il lui correspond un \(K\)-espace vectoriel gradué, \(\underline D_{HT} (V)\), de dimension \(d\);
si \(V\) est de de Rham, un \(K\)-espace vectoriel filtré \(\underline D_{dR} (V)\), de dimension \(d\);
si \(V\) est cristalline, \(\underline D_{dR} (V)\) est muni d’une \(K_0\)-structure \(\underline D_{st} (V)\) (notée aussi \(\underline D_{cris} (V))\) et d’un Frobenius \(\varphi\) (automorphisme \(\sigma\)-semi-linéaire de \(\underline D_{st} (V))\), avec des relations de compatibilité, le tout formant ce que nous avons appelé dans Astérisque 65, 3-80 (1979; Zbl 0429.14016) un \(\varphi\)-module filtré faiblement admissible;
si \(V\) est semi-stable, la situation est la même que dans le cas cristallin, à ceci près que l’on a en plus un opérateur de monodromie qui est un endomorphisme nilpotent \(N\) de \(\underline D_{st} (V)\), vérifiant \(N \varphi= p\varphi N\) (et qui agit aussi bien sûr sur \(\underline D_{HT} (V))\); on a \(N=0\) si et seulement si \(V\) est cristalline; on obtient ainsi un \((\varphi,N)\)-module filtré faiblement admissible; enfin si \(V\) est potentiellement semi-stable, et si pour simplifier on suppose \(k\) algébriquement clos, la situation est assez voisine: on a un \(K_0\)-espace vectoriel \(\underline D_{pst}(V)\), de dimension \(d\), muni, non seulement d’une action de \(\varphi\) et de \(N\), mais aussi d’une action linéaire de \(G_K\), discrète (i.e. à travers le groupe de Galois d’une extension finie galoisienne convenable de \(K\) contenue dans \(\overline K)\), commutant à \(\varphi\) et à \(N\) et on a \(\underline D_{dR} (V)= (\overline K\otimes_{K_0} \underline D_{pst} (V))^{G_K}\).
L’un des intérêts de cette construction c’est que le foncteur \(\underline D_{pst}\) qui va de \(\underline {Rep}_{pst} (G_K)\) dans une catégorie de “\((\varphi,N,G_K)\)-modules filtrés” est pleinement fidèle. Autrement dit, les propriétés de \(V\) se “lisent” sur \(\underline D_{pst}(V)\); même si les \((\varphi,N,G_K)\)-modules filtrés sont des objets un peu lourds, ils sont beaucoup plus “concrets” que les représentations \(p\)-adiques. En outre, on a une description conjecturale de l’image essentielle du foncteur \(\underline D_{pst}\), et on dispose de résultats partiels.
Le §1 contient quelques rappels et compléments sur les catégories tannakiennes. Dans le §2, on donne quelques exemples de représentations \(B\)-admissibles. A partir du §3, les notions introduites au §1 sont utilisées dans la situation où \(G=G_K\) et \(E=\mathbb{Q}_p\). Au §4, on étudie les \((\varphi,N,G_K)\)-modules filtrés et leurs variantes. – Les représentations cristallines [cf. J.-M. Fontaine, Ann. Math., II. Ser. 115, 529-577 (1982; Zbl 0544.14016) et Invent. Math. 65, 379-409 (1982; Zbl 0502.14015)] sont celles qui sont \(B_{cris}\)-admissibles, tandis que les semi-stables sont celles qui sont \(B_{st}\)-admissibles; elles sont introduits au §5. Nous terminerons cet exposé (§6), en énonçant des conjectures et en discutant des résultats (dûs aus efforts de Bloch, Faltings, Fontaine, Gabber, Hyodo, Illusie, Kato, Messing, Raynaud, Tate,…) dont nous avons eu connaissance.
For the entire collection see [Zbl 0802.00019].

MSC:
14G20 Local ground fields in algebraic geometry
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
14F40 de Rham cohomology and algebraic geometry
18E30 Derived categories, triangulated categories (MSC2010)
11S25 Galois cohomology
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