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Deformation quantization and index theory. (English) Zbl 0867.58061
Mathematical Topics. 9. Berlin: Akademie Verlag. 325 p. (1996).
Ce livre présente l’ensemble des recherches de l’auteur sur la quantification par déformation et la théorie de l’indice. L’avantage certain que présente l’ouvrage est qu’il comprend une présentation succincte de l’ensemble des théories (géométrie différentielle et notamment symplectique, \(K\)-théorie, opérateurs pseudo-différentiels, théorie de l’indice …) dont la connaissance est indispensable pour aborder valablement la théorie de la quantification par déformation. On regrettera simplement la présence de quelques coquilles typographiques et que la partie géométrique soit inutilement alourdie par l’utilisation systématique de calculs en coordonnées locales …
L’ouvrage s’organise autour de deux résultats principaux.
Le premier concerne la construction d’un produit étoile au sens de F. Bayen, M. Flato, C. Frønsdal, A. Lichnérowicz et D. Sternheimer [Ann. Phys. 111, 61–110; 111–151 (1978; Zbl 0377.53024, Zbl 0377.53025), abbrevié par [7]] sur toute variété symplectique. L’existence de tels produits avait été prouvée par M. de Wilde et P. B. A. Lecomte [Lett. Math. Phys. 7, 487–496 (1983; Zbl 0526.58023)] par des méthodes cohomologiques, la déformation étant construite de proche en proche. H. Omori, Y. Maeda et A. Yoshioka [Lett. Math. Phys. 26, No. 4, 285–294 (1992; Zbl 0771.58017)] proposaient une méthode de construction effective consistant d’une part à montrer que toute variété symplectique \((M,\sigma)\) est munie d’un fibre (de rang infini) en “algèbres de Weyl” \(W\) et à étudier le relèvement global d’une fonction \(C^\infty\) sur \(M\) en section du fibré en algèbres de Weyl, le relèvement local étant toujours possible [7]: le fibré en algèbres de Weyl est construit sur le fibré tangent, dont chaque fibré \((T_xM,\sigma_x)\) est vue comme une variété symplectique isomorphe à \((\mathbb{R}^{2n},\sigma_0)\) (structure standard) et donc équipée du produit de Moyal. La méthode de Fedosov est originale et belle. Il montre que ce relèvement sera obtenu – globalement – en construisant une connexion (généralisée) \(\nabla\) dans le fibré en algèbres de Weyl : les sections horizontales de cette connexion forment une sous-algèbre de l’algèbre des sections du fibré en algèbres de Weyl, isomorphe comme espace vectoriel à l’espace vectoriel des séries formelles \(C^\infty(M)[[h]]\), ce qui, par transport de structure, munit \(C^\infty(M)[[h]]\) du produit étoile cherché. La construction de \(\nabla\) se fait par approximation successive à partir d’une connexion symplectique sans torsion dans \((M,\sigma)\), \(D\). Une telle connexion \(D\) – en utilisant les isomorphismes usuels en géométrie symplectique – est une connexion à valeurs dans \(S^2(T^*M)\), fibré des farines quadratiques, qui est un sous-fibré en algèbres de Lie du fibré en algèbres de Weyl (ou plus exactement du fibré en algèbres de Lie associé …) et tout revient à construire une 1-forme \(\phi\) à valeurs dans \(W\), par approximation successive pour la filtration naturelle de \(W\), telle que \(\nabla = D+\phi\) vérifie certaines conditions assurant que les sections horizontales forment une sous-algèbre. Si l’on applique cette méthode à la variété standard \((\mathbb R^{2n},\sigma_0)\) \(\nabla\) se réduit à la connexion standard dans le fibré des jets d’ordre \(\infty\) de fonctions sur \(\mathbb R^{2n}\), introduite par Tsujihita sur tout fibré de jets d’ordre \(\infty\) de sections, ce qui explique la démarche suivie.
Fedosov donne alors quelques indications sur la manière de traiter le cas des variétés de Poisson mais il est, là, victime des limites de sa démarche géométrique : les indications données ne sont valables que si le feuilletage régulier de la variété de Poisson est une fibration ce qui est une situation trés particulière. Par exemple, il est inexact que pour un feuilletage quelconque on puisse définir feuille à feuille une fonction \(C^\infty\) sur la variété (Pour une construction du produit \(*\) dans ce cas, voir un article à paraître du rapporteur).
Le deuxième résultat principal de Fedosov concerne le problème de la représentation de cette structure de produit étoile à l’aide d’opérateurs sur un espace de Hilbert. Quand on sort du cas plat \((\mathbb R^{2n},\sigma_0)\) on ne peut plus espérer qu’une représentation asymptotique (idée qui remonte à M. V. Karasëv et V. P. Maslov [Russ. Math. Surv. 39, No. 6, 133–205 (1984); translation from Usp. Mat. Nauk 39, No. 6(240), 115–173 (1984; Zbl 0588.58031)]) pour \(h\to 0\) où le paramètre formel \(h\) est astreint à décrire un ensemble \(\Lambda\) (les valeurs admissibles) qui est un sous-ensemble de \(]0,1]\) ayant 0 comme point d’accumulation. Fedosov prouve que le problème ne peut avoir de solutions que si \((M,\sigma)\) vérifie une condition cohomologique. Cette condition est identique à celle postulée heuristiquement dans [M. V. Karasëv et V. P. Maslov, J. Sov. Math. 15, 273–368 (1981); translation from Itogi Nauki Tekh. Ser. Sovrem. Probl. Mat. 13, 145–267 (1979; Zbl 0482.58029)], établie dans certaines situations par J. Czyż et H. Hess et établie rigoureusement dans le cadre de la quantification asymptotique à la Maslov par G. Patissier et le rapporteur [Symplectic geometry, groupoids, and integrable systems, Math. Sci. Res. Inst. Publ. 20, 73–97 (1991; Zbl 0732.58020)]. Cette condition s’écrit \((*)\quad \frac{1}{2\pi h}[\sigma]+\frac{\varepsilon}{2}\in H^2(M,\mathbb Z)\) où \([\sigma]\) est la classe de la forme symplectique et \(\varepsilon\) “la” classe de Chern de la variété \((M,\sigma)\). De façon précise Fedosov prouve (Th. 7.3.7): “si \((M,\sigma)\) est une variété symplectique compacte et si (*) est vérifiée pour un sous-ensemble \(\Lambda\) de \(]0,1]\) ayant 0 comme point d’accumulation, il existe une représentation asymptotique admettant \(\Gamma\) comme ensemble de valeurs admissibles. De plus si \(h_0\) est une valeur admissible, pour tout \(\xi\in K(M)\) le nombre \[ \int_M \text{ch}\;\xi\text{ exp}\Biggl(\frac{[\sigma]}{2\pi h_0}\Biggr)\widehat{A}(M) \] est entier.”
Le dernier point résulte de ce que ce nombre représente l’indice analytique d’un représentant elliptique, qui donc est un entier modulo \(0(h^{-\infty}_0)\), et d’autre part est un polynôme en \(1/h_0\).

MSC:
58J22 Exotic index theories on manifolds
53D55 Deformation quantization, star products
58-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to global analysis
53-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to differential geometry
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