×

Symbolic integration. I: Transcendental functions. (English) Zbl 0880.12005

Algorithms and Computation in Mathematics. 1. Berlin: Springer. xiii, 299 pp. (1997).
Dies ist das erste Lehrbuch, das dem symbolischen Integrieren und den in den letzten Jahren gefundenen Algorithmen gewidmet ist. Der vorliegende erste Band behandelt die Berechnung von Stammfunktionen transzendenter Funktionen; ein zweiter Band über die Integration von algebraischen Funktionen und von Funktionen gemischten Typs ist geplant.
Nach einem einführenden Kapitel, das die grundlegenden Hilfsmittel aus der Algebra und die wichtigsten Algorithmen zum Rechnen in Polynomringen zusammenstellt, wird im zweiten Kapitel auf die Integration rationaler Funktionen eingegangen. Hervorzuheben sind darin die Behandlung des Algorithmus von D. Lazard, R. Rioboo und B. M. Trager zur Berechnung des logarithmischen Teils des Integrals mit Hilfe von Subresultanten, sowie die Behandlung des Algorithmus von R. Rioboo zur Berechnung stetiger Stammfunktionen im Reellen.
Das dritte Kapitel bringt die erforderliche Einführung in die Differentialalgebra. Neben den monomialen Erweiterungen vom exponentiellen und vom logarithmischen Typ eines Körpers mit Derivation werden soweit möglich auch solche von allgemeinerem Typ behandelt. Das vierte Kapitel behandelt die Bewertungen von Körpern mit Derivation und ihren Erweiterungskörpern. Die beiden folgenden Kapitel bilden den Mittelpunkt des vorliegenden Bandes.
Das fünfte Kapitel behandelt das Integrationsproblem, hier werden der in seiner Gestalt auf J. Liouville zurückgehende Hauptsatz der Theorie bewiesen und die wesentlichen Teile des Integrationsalgorithmus beschrieben. Die Reduktionsalgorithmen aus Kapitel 5 führen im Fall von Monomen vom exponentiellen Typ auf die nach R. Risch benannte Differentialgleichung \(Dy + fy = g\), wo \(f\) und \(g\) Elemente eines Körpers \(K\) mit Derivation \(D\) sind und eine Lösung \(y \in K\) gesucht ist. Damit befaßt sich das sechste Kapitel; hier werden die Algorithmen ausführlich beschrieben, die es erlauben zu entscheiden, ob eine Risch’sche Differentialgleichung eine Lösung besitzt, und die eine Lösung liefern, falls eine existiert.
Die folgenden zwei Kapitel behandeln mit dem Integrationsalgorithmus zusammenhängende Probleme: Kapitel 7 beschäftigt sich mit Problemen mit Parametern, wie sie etwa beim Lösen von Risch’schen Differentialgleichungen mit Nebenbedingungen auftreten, und Kapitel 8 mit der Aufgabe, Systeme aus zwei Differentialgleichungen zu lösen, die sich aus einer Risch’schen Differentialgleichung durch Trennen von Real- und Imaginärteil ergeben. Das letzte Kapitel setzt die Einführung in die Differentialalgebra fort und endet mit dem Beweis des Struktursatzes von R. Risch und seiner Verallgemeinerung durch M. Rothstein und B. F. Caviness. Diese Sätze werden in Kapitel 7 benötigt; sie werden im nächsten Band bei der Integration algebraischer Funktionen eine wichtige Rolle spielen.
Der vorliegende Band erfüllt zwei Aufgaben mit vollem Erfolg: Er führt den an der Theorie interessierten Leser in ein interessantes Spezialgebiet der Algebra ein und macht den mit der Implementation von Integrationsalgorithmen befaßten Leser mit den neuesten Algorithmen bekannt. Die Beweise sind klar und vollständig ausgearbeitet, die Algorithmen sind präzise begründet und in Form eines gut lesbaren Pseudocodes aufgeschrieben; das Literaturverzeichnis ist erfreulich ausführlich, und zahlreiche, klug gewählte Beispiele illustrieren Theorie und Algorithmen. Im ganzen ein sehr gut gelungenes Buch! Man darf sich auf den zweiten Band freuen.

MSC:

12H05 Differential algebra
12-02 Research exposition (monographs, survey articles) pertaining to field theory
68W30 Symbolic computation and algebraic computation
12Y05 Computational aspects of field theory and polynomials (MSC2010)
33B10 Exponential and trigonometric functions
28-04 Software, source code, etc. for problems pertaining to measure and integration
PDFBibTeX XMLCite