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Some problems and results in the study of nonlinear analysis. (English) Zbl 0901.47036

Die vorliegende Arbeit behandelt Konvergenzaussagen für Iterationsverfahren zur Berechnung von Fixpunkten von 1. akkretiven, 2. stark akkretiven, 3. (stark) pseudokontraktiven Abbildungen in Banachräumen mit zusätzlichen Konvexitäts- bzw. Glattheitseigenschaften. Im Detail werden die Ishikawa-Iteration [S. Ishikawa, Proc. Am. Math. Soc. 44, 147-150 (1974; Zbl 0286.47036)], d.h., die Vorschrift \[ x_{n+ 1}= (1-\alpha_n)x_n+ \alpha_nT(y_n),\quad y_n= (1-\beta_n)x_n+ \beta_nT(x_n) \] für eine Selbstabbildung \(T\) einer konvexen Teilmenge eines Banachraumes bzw. die Mann-Iteration [R. W. Mann, ibid. 4, 506-510 (1953; Zbl 0050.11603)] (in obiger Vorschrift ist \(\beta_n= 0\) zu setzen \(n= 0,1,2,\dots\)) untersucht. Der Verfasser beweist sechs einschlägige Theoreme wie z.B. das folgende Theorem 3.2. “\(X\) sei ein reeller glatt konvexer Banachraum, \(K\subset X\) eine beschränkte abgeschlossene konvexe Teilmenge und \(T: K\to K\) eine stark pseudo-kontraktive Abbildung. Es seien \((\alpha_n)\), \((\beta_n)\) zwei reelle Zahlenfolgen mit \[ (i)\quad 0\leq \alpha_n\leq\beta_n\leq 1\quad (n= 0,1,2,\dots),\qquad (ii)\quad \sum^\infty_{n= 0}\alpha_n=+\infty\quad\text{und} \quad \lim_{n\to\infty} \beta_n= 0. \] Hat die Abbildung \(T\) einen Fixpunkt, dann hat \(T\) genau einen Fixpunkt \(\overline x\in K\) und für jedes (Start-)Element \(x_0\in K\) konvergiert die gemäß der Ishikawa-Iteration (s. oben) gebildete Folge \((x_n)\) stark gegen \(\overline x\).” Dieses Theorem verallgemeinert einen Satz von C. E. Chidume [ibid. 120, No. 2, 545-551 (1994; Zbl 0802.47058)] und gibt eine positive Antwort auf eine von ihm gestellte Frage. Ein wichtiges Beweishilfsmittel ist eine vom Autor bewiesene Ungleichung für die \(p\)-Dualitätsabbildung \((1< p<\infty)\): \[ J_p(x)= \{f\in x^*\mid (x,f)= \|f\|\cdot\|x\|, \|f\|= \|x\|^{p-1}\}. \]

MSC:

47H06 Nonlinear accretive operators, dissipative operators, etc.
47J25 Iterative procedures involving nonlinear operators
47H10 Fixed-point theorems
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