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On approximation measures of \(q\)-logarithms. (English) Zbl 0930.11053

In der vorliegenden Arbeit werden Irrationalitätsmaße für Werte der \(q\)-Logarithmusfunktion \(\ell_q(z) := \sum_{n\geq 1} z^n/(1-q^n)\) gewonnen, wenn \(q, z\) Elemente \(\not= 0\) eines algebraischen Zahlkörpers \(K\) sind und wenn \(v\) eine Stelle von \(K\) ist, so daß \(|q|_v < 1, |z|_v < 1\) gelten. Die arithmetischen Eigenschaften der Werte dieser \(q\)-Logarithmus- und verwandter Funktionen sind in den letzten Jahren von verschiedenen Autoren untersucht worden [vgl. etwa K. Väänänen und P. Bundschuh, Compos. Math. 91, 175-199 (1994; Zbl 0802.11027)]. Verff. verschärfen hier die früheren Irrationalitätsmaße sowohl im archimedischen als auch im \(p\)-adischen Fall und geben zwei Beweise für ihre Resultate, den zweiten allerdings nur skizziert. Beide Beweise nutzen gewisse Verbesserungen bei der gewöhnlichen Padé-Approximation aus.
Als Anwendung erhalten Verff. ein Irrationalitätsmaß für Reihen \(\sum_{n\geq 1} 1/u_{kn} \;\;(k\in{\mathbb N})\), wo \((u_n)\) eine die Fibonacci-Folge verallgemeinernde binäre lineare Rekurrenz der Form \(u_{n+2} = ru_{n+1}+su_n\) mit \(r,s\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}\) und geeigneten Anfangswerten in \({\mathbb Q}((r^2+4s)^{1/2})\) bedeutet.

MSC:

11J82 Measures of irrationality and of transcendence
11J17 Approximation by numbers from a fixed field
11J61 Approximation in non-Archimedean valuations
41A21 Padé approximation

Citations:

Zbl 0802.11027
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References:

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