On approximation measures of \(q\)-logarithms. (English) Zbl 0930.11053

Matala-Aho, Tapani; Väänänen, Keijo

Bull. Aust. Math. Soc. 58, No. 1, 15-31 (1998).

In der vorliegenden Arbeit werden Irrationalitätsmaße für Werte der \(q\)-Logarithmusfunktion \(\ell_q(z) := \sum_{n\geq 1} z^n/(1-q^n)\) gewonnen, wenn \(q, z\) Elemente \(\not= 0\) eines algebraischen Zahlkörpers \(K\) sind und wenn \(v\) eine Stelle von \(K\) ist, so daß \(|q|_v < 1, |z|_v < 1\) gelten. Die arithmetischen Eigenschaften der Werte dieser \(q\)-Logarithmus- und verwandter Funktionen sind in den letzten Jahren von verschiedenen Autoren untersucht worden [vgl. etwa K. Väänänen und P. Bundschuh, Compos. Math. 91, 175-199 (1994; Zbl 0802.11027)]. Verff. verschärfen hier die früheren Irrationalitätsmaße sowohl im archimedischen als auch im \(p\)-adischen Fall und geben zwei Beweise für ihre Resultate, den zweiten allerdings nur skizziert. Beide Beweise nutzen gewisse Verbesserungen bei der gewöhnlichen Padé-Approximation aus.
Als Anwendung erhalten Verff. ein Irrationalitätsmaß für Reihen \(\sum_{n\geq 1} 1/u_{kn} \;\;(k\in{\mathbb N})\), wo \((u_n)\) eine die Fibonacci-Folge verallgemeinernde binäre lineare Rekurrenz der Form \(u_{n+2} = ru_{n+1}+su_n\) mit \(r,s\in{\mathbb Z}\setminus\{0\}\) und geeigneten Anfangswerten in \({\mathbb Q}((r^2+4s)^{1/2})\) bedeutet.

Reviewer: P.Bundschuh (Köln)

MSC:

11J82	Measures of irrationality and of transcendence
11J17	Approximation by numbers from a fixed field
11J61	Approximation in non-Archimedean valuations
41A21	Padé approximation

Keywords:

measures of irrationality; \(q\)-logarithms; Padé approximation; binary linear recurrence; \(p\)-adic valuation; archimedean valuation

Citations:

Zbl 0802.11027

References:

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