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The field of \(p\)-adic periods. With an appendix by Pierre Colmez: The algebraic numbers are dense in \(B_{dR}^+\). (Exposé II: Les corps des périodes \(p\)-adiques. Avec un appendice par Pierre Colmez: Le nombres algébriques sont denses dans \(B_{dR}^+\).) (French) Zbl 0940.14012
Fontaine, Jean-Marc (ed.), Périodes \(p\)-adiques. Séminaire de Bures-sur-Yvette, France, 1988. Paris: Société Mathématique de France, Astérisque. 223, 59-111, Appendix 103-111 (1994).
From the introduction: Dans cet exposé, \(K\) est un corps, complet pour une valuation discrète, à corps résiduel parfait \(k\) de caractéristique \(p>0\). On note \(\overline K\) une clôture séparable fixée de \(K\) et \(\overline k\) son corps résiduel. On pose \(G=\text{Gal}(\overline K/K)\). On désigne par \(C\) le complété de \(\overline K\). On note \({\mathcal O}_C\) (respectively \({\mathcal O}_K\), \({\mathcal O}_{\overline K})\) l’anneau des entiers de \(C\) (respectively \(K,\overline K)\).
Le plan de ce texte est le suivant: Au §1, on rappelle la définition de l’anneau \(B^+_{dR}\) et de son corps des fractions \(B_{dR}\) (le “corps des périodes \(p\)-adiques”) introduits par J.-M. Fontaine [Ann. Math., II. Ser. 115, 529-577 (1982; Zbl 0544.14016); §2]. L’exposition diffère de ce papier en ce sense que l’on donne une caractérisation de \(B^+_{dR}\) par une propriété universelle: Cela nous amène à introduire la notion d’épaississement pro-infinitésimal \(p\)-adique universal d’une algèbre séparée et complète pour la topologie \(p\)-adique et à montrer son existence dès que le Frobenius est surjectif sur la réduction mod \(p\). On donne aussi (no. 1.4) une description de l’anneau quotient \(B^+_{dR}/ \text{Fil}^2 B^+_{dR}\) à l’aide des \({\mathcal O}_K\)-différentielles de Kähler de \({\mathcal O}_{\overline K}\). Celle-ci joue un rôle essentiel dans l’appendice. Au no. 1.5, on explique comment les anneaux filtrés \(B^+_{dR}\) et \(B_{dR}\) se construisent à partir de l’épaississement pro-infinitésimal universal \(p\)-adique de \({\mathcal O}_C\). On rappelle aussi la définition de l’anneau \(B_{HT}\) des “périodes de Hodge-Tate”, qui est le gradué associé à l’anneau filtré \(B_{dR}\).
Au §2, on rappelle la définition des anneaux \(A_{cris}\), \(B^+_{cris}\) et \(B_{cris}\) introduits par J.-M. Fontaine [dans: Algebraic Geometry, Proc. Jap.-Fr. Conf., Tokyo and Kyoto 1982, Lect. Notes Math. 1016, 86-108 (1986; Zbl 0596.14015)] and par J.-M. Fontaine et W. Messing [dans: Current Trends in Arithmetical Algebraic Geometry, Proc. Summer Res. Conf., Arcata 1985, Contemp. Math. 67, 179-207 (1987; Zbl 0632.14016)]: On définit ici \(B^+_{cris}\) comme solution d’un problème universel: c’est l’anneau obtenu en rendant \(p\) inversible dans le complété \(p\)-adique de l’épaississement à puissances divisées universel de la \(W\)-algèbre \({\mathcal O}_C\). – Au §3, on définit les anneaux \(B^+_{st}\) et \(B_{st}\) à partir de \(B^+_{cris}\) et \(B_{cris}\) comme étant les anneaux obtenus en “agrandissant de universelle le domaine de définition du logarithme”. – Au §4, on explique comment \(B_{cris}\) se plonge dans \(B_{dR}\) et comment le choix d’un prolongement du logarithme \(p\)-adique usuel définit un plongement de \(B_{st}\) dans \(B_{dR}\). – Dans le §5, on donne quelques compléments sur la structure de \(A_{cris}\) et \(B_{cris}\). On en déduit, en particulier, l’exactitude de la suite \[ 0\leq\mathbb{Q}_p\to B_{cris} \bigcup B^+_{dR}\to B_{cris}\to 0. \] Enfin, dans l’appendice, Pierre Colmez montre que \(\overline K\) est dense dans \(B^+_{dR}\) [cf. P. Colmez, C. R. Acad. Sci., Paris, Sér. I 310, No. 6, 321-324 (1990; Zbl 0707.11082)].
For the entire collection see [Zbl 0802.00019].

MSC:
14F30 \(p\)-adic cohomology, crystalline cohomology
11S20 Galois theory
13K05 Witt vectors and related rings (MSC2000)
14F20 Étale and other Grothendieck topologies and (co)homologies
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