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Galois structure of \(K\)-groups of rings of integers. (English) Zbl 0943.11051

Les auteurs décrivent une nouvelle approche pour associer aux \(K\)-groupes d’anneaux d’entiers d’une extension galoisienne \(L/K\) de corps globaux de groupe de Galois \(G\) une suite de classes \(\Omega _n(L/K)\) dans le groupe de Grothendieck \(K_0({\mathbb{Z}} [G])\) des \({\mathbb{Z}} [G]\)- modules noethériens de dimension projective finie, relevant les classes naives \[ \Omega _n (N/K)^{\text{Naive}} = K_{2n+1}(O_n) - K_{2n}(O_n) - Y_{2n+1} + c_n ({\mathbb{Z}}) \] dans le groupe de Grothendieck \(G_0({\mathbb{Z}} [G])\) de tous les \({\mathbb{Z}} [G]\)-modules de type fini, et expriment leurs images dans des quotients convenables de \(K_0({\mathbb{Z}} [G])\) à l’aide des coefficients dominants \(L^*(-n, V)\) en \(s=-n\) des séries \(L(s, v)\) d’Artin attachées aux représentations \(V\) de \(G\), et des nombres de racines d’Artin de ces représentations.
Pour \(n=0\), T. Chinburg [Invent. Math. 74, 321-349 (1983; Zbl 0564.12016)] a défini un invariant \(\Omega_0 (N/K)\) et montré que, sous la conjecture de Stark pour \(L^*(0, V)\), la différence \(\Omega _0 (N/K) - W_{N/K}\), (où \(W_{N/K}\) est le “root number class” de Cassou-Noguès et Fröhlich) est bien dans \(D({\mathbb{Z}} [G])\), de sorte que par un théorème de Queyrut on a bien : \(\Omega _n (N/K)^{\text{Naive}} = 0\). Pour \(n=1\), V. P. Snaith [Galois module structure. Providence, Am. Math. Soc. (1994; Zbl 0830.11042)] et G. Pappas, s’appuyant sur les travaux de B. Kahn [\(K\)-Theory 7, 55-100 (1993; Zbl 0780.12007)], ont défini \(\Omega_1 (N/K)\) dans le cas où l’extension est non complexifiée. Le cas général \(n \geq 0\) enfin, a été abordé par D. Burns et M. Flach [Math. Ann. 305, 65-102 (1996; Zbl 0867.11081)] pour \(G\) abélien, en liaison avec les travaux de Bloch et Kato, K. Kato, J.-M. Fontaine et B. Perrin-Riou sur \(L^*(-n, V)\).
Dans le présent travail, les auteurs développent une variante étale de la cohomologie positive introduite par B. Kahn [op. cit.] pour traiter de la 2-partie, et s’appuient notamment sur les travaux de C. Soulé, B. Kahn, W. Dwyer et E. Friedlander sur les classes de Chern pour définir en toute généralité un invariant \(\Omega _n (N/K)\) dont ils montrent qu’il est indépendant des choix non canoniques effectués au cours de sa construction et obtiennent en fin de compte le résultat suivant (Th. 1.1):
(a) L’image de \(\Omega _n (N/K)\) dans \(G_0({\mathbb{Z}} [G])\) est bien \(\Omega _n (N/K)^{\text{Naive}}\) pour \(n=1\) et en diffère pour \(n>1\) (et sous réserve de la conjecture de Quillen-Lichtenbaum) d’un élément ayant pour ordre une puissance de 2.
(b) On a \(\Omega _n (N/K) \simeq W_{N/K} [\text{mod } D({\mathbb Z} [G])]\) sous la conjecture de Gross-Lichtenbaum pour \(L^*(-n, V)\), de sorte que \(\Omega _n (N/K)\) a une image nulle dans \(G_0({\mathbb Z} [G])\) par le théorème de Queyrut.
(c) Dans le cas des corps de fonctions, on a même \(\Omega _n (N/K) = W_{N/K}\) dès que la caractéristique du corps \(K\) ne divise pas l’ordre du groupe \(G\).

MSC:

11R33 Integral representations related to algebraic numbers; Galois module structure of rings of integers
12G05 Galois cohomology
19F27 Étale cohomology, higher regulators, zeta and \(L\)-functions (\(K\)-theoretic aspects)
19A31 \(K_0\) of group rings and orders
11R70 \(K\)-theory of global fields
11R34 Galois cohomology
11G40 \(L\)-functions of varieties over global fields; Birch-Swinnerton-Dyer conjecture
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