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On the polygons inscribed and circumscribed simultaneously to two circles. (Sur les polygones inscrits et circonscrits à la fois à deux cercles.) (French) JFM 10.0359.04
Die Abhandlung zerfällt in zwei Theile. In dem ersten Theile ist die Aufgabe, die Relation zwischen den Radien \(R,r\) der beiden Kreise und der Distanz \(\delta\) ihrer Mittelpunkte zu finden, welche stattfinden muss, damit ein Polygon von \(n\) Seiten \(ABC\dots\) dem einen Kreise eingeschrieben und zugleich dem andern umschrieben werden könne, vollständig und mit einfachen Hilfsmitteln gelöst. Dazu entwickelt der Verfasser einige Sätze über dasjenige Polygon, welches durch die auf dem innern Kreise liegenden Berührungspunkte \(\alpha\beta\gamma\dots\) gebildet wird. Ich führe die beiden wichtigsten an: Das Centrum der mittleren Entfernungen von \(m\) aufeinander folgenden Eckpunkten des Vielecks \(\alpha\beta\gamma\dots\, (m<n)\) beschreibt einen festen Kreis, wenn das Polygon \(ABC\dots\) auf den beiden Kreisen sich fortbewegt. Wenn das Polygon \(\alpha\beta\gamma\dots\) sich schliesst, so bleibt es auch während des Weiterrückens der Figur stets geschlossen und das Centrum der mittleren Entfernungen aller \(n\) Eckpunkte bleibt fest. Wird zur Abkürzung \(\alpha=\frac\delta R\) und \(z=\frac{2Rr}{R^2-\delta^2}\) gesetzt, so haben die erwähnten Relationen für das 3-, 4-, 5- und 6-Eck folgende Form: \[ z=1;\quad z^2(1+\alpha^2)=2;\quad \alpha^2z^3+z^2-z+1=0; \quad \alpha^2z^4+z^2(1+\alpha^2)=3. \] In dem zweiten Theile der Arbeit werden noch manche besonderen Eigenschaften der Polygone, welche zwei Kreisen zugleich ein- und umgeschrieben sind, bewiesen; darunter befindet sich auch der bekannte Satz für ein Polygon mit \(2n\) Seiten: Die Schnittpunkte je zweier Gegenseiten liegen auf einer und derselben Geraden, welche während des Fortrückens der Figur unverändert bleibt, und die Hauptdiagonalen schneiden sich in einem und demselben festen Punkte.

MSC:
51M15 Geometric constructions in real or complex geometry
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Full Text: Gallica EuDML