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Little \(q\)-Legendre polynomials and irrationality of certain Lambert series. (English) Zbl 1035.11032

Für \(x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\) bezeichne \(r(x)\) das Infimum aller \(\rho\in\mathbb{R}\), für die die Ungleichung \(| x- a/b|< b^{-\rho}\) höchstens endliche viele Lösungen \((a,b)\in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\) hat. Dies \(r(x)\) \((\geq 2)\) heißt der Irrationalitätsexponent von \(x\). Der Verf. beweist hier die Irrationalität von \(h_p(1):= \sum_{k\geq 1} 1/(p^k- 1)\) und von \(\ln_p(2):= \sum_{k\geq 1}(-1)^k/(p^k- 1)\) bei \(p\in\mathbb{N}\setminus\{1\}\) und zusätzlich
\[ r(h_p(1))\leq 2\pi^2/(\pi^2- 2)= 1,50828\dots, \tag \(*\) \]
\[ r(\ln_p(2))\leq 2\pi^2/(\pi^2- 4)= 3,36295\dots. \tag \(**\) \] Dazu beschafft er sich genügend gute rationale Approximationen an \(h_p(1)\) bzw. an \(\ln_p(2)\) aus Padé-Approximationen, für deren Herleitung er die sogenannten “kleinen \(q\)-Legendre-Polynome” benützt. Das \(n\)-te derarige ist dabei erklärt durch \[ P_n(x| q):= \sum^n_{k=0} {n\brack k}_q {n+k\brack k}_q q^{-nk+ k(k+ 1)/2}(- x)^k, \] \(0<| q|< 1\), wobei \({m\brack k}_q:= \prod^k_{j=1} (1- q^{m-k+j)}/(1- q^j)\) für \(m,k\in\mathbb{N}_0\), \(k\leq m\) gesetzt ist. (Man beachte, dass \(\lim_{q\to 1} P_n(x| q)\) das klassische \(n\)-te Legendre-Polynom ist.) Der Verf. zeigt, dass gewisse Eigenschaften dieser orthogonalen Polynome tatsächlich die gewünschten Irrationalitätsaussagen liefern und es gestatten, die Irrationalitätsexponenten wie oben angegeben abszuschätzen. Analoge Betrachtungen führen bei Lambertreihen der Form \[ L_c:= \sum_{k\geq 1} 1/(cp^k- 1), \] \(c\in\mathbb{Q}^\times\), \(cp^k\neq 1\) für alle \(k\in\mathbb{N}\), zum Ziel; hier findet der Verf.
\[ r(L_c)\leq 3\pi^2/(\pi^2- 3)= 4,310119\dots \tag \(***\) \] Es sei angemerkt, dass \((*)\) und \((***)\) mit anderen Methoden schon vom Referenten und K. Väänänen [Compos. Math. 91, 175–199 (1994; Zbl 0802.11027)] bewiesen wurden, während \((**)\) ein Resultat von T. Matala-Aho und K. Väänänen [Bull. Aust. Math. Soc. 58, 15–31 (1998; Zbl 0930.11053)] deutlich verbessert. Inzwischen wurden \((*)\) und \((**)\) von W. Zudilin [Manuscr. Math. 107, 463–477 (2002; Zbl 1044.11068)] auf \(r(h_p(1))\leq 2,49846\dots\) bzw. \(r(\ln_p(2))\leq 3,29727\dots\) verschärft; jüngst hat derselbe Autor \(r(h_p(1))\leq 2,42343\dots\) angekündigt.

MSC:

11J82 Measures of irrationality and of transcendence
33D45 Basic orthogonal polynomials and functions (Askey-Wilson polynomials, etc.)
41A21 Padé approximation
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