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Nonlinear functional analysis. An introduction. (Nichtlineare Funktionalanalysis. Eine Einführung.) (German) Zbl 1043.46002

Berlin: Springer (ISBN 3-540-20066-5/pbk). xii, 208 S. (2004).
Das vorliegende Buch, das aus einsemestrigen Vorlesungen hervorgegangen ist, bietet eine erste Einführung in die nichtlineare Funktionalanalysis. Die Auswahl des Stoffes ist an der Anwendbarkeit der beschriebenen Methoden auf die Untersuchung nichtlinearer (elliptischer und parabolischer) Differentialgleichungen orientiert.
Der Stoff ist in vier Kapitel gegliedert. Kapitel 1 behandelt die Fixpunktsätze von Banach, Brouwer und Schauder und ihre Anwendungen auf nichtlineare Gleichungssysteme, gewöhnliche Differentialgleichungen und das Randwertproblem der Laplacegleichung. Kapitel 2 beschäftigt sich mit den für das folgende nötigen Verallgemeinerungen von Differential und Integral auf Funktionen mit Werten in Banachräumen. Das Herzstück des Buches ist Kapitel 3, “Die Theorie monotoner Operatoren”, welches grundlegende Resultate über monotone Operatoren (Satz von Browder und Minty, Nemyckii-Operator), pseudomonotone Operatoren (Satz von Brezis) und maximal monotone Operatoren (Satz von Browder) enthält. Daneben werden Anwendungen auf quasilineare elliptische Gleichungen, die stationären Navier–Stokes-Gleichungen, Variationsungleichungen, Evolutionsprobleme und quasilineare parabolische Gleichungen dargestellt.
Das vierte und letzte Kapitel befasst sich mit dem für die Untersuchung der Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungen fundamental wichtigen topologischen Begriff des Abbildungsgrads. Die Darstellung beschränkt sich hier weitgehend auf die grundlegenden Definitionen und Sätze, die zum Begriff des Leray–Schauderschen Abbildungsgrades hinführen. Als Anwendungsbeispiele werden abschließend einige Existenz- und Eindeutigkeitssätze für quasilineare elliptische Gleichungen bewiesen.
Die über Grundkenntnisse in linearer Algebra und Analysis hinausgehenden Voraussetzungen aus der linearen Funktionalanalysis und der Maß- und Integrationstheorie werden im Anhang des Buches aufgeführt. Sorgfalt und Vollständigkeit der Darstellung zeichnen das Buch aus. Das Literaturverzeichnis beschränkt sich auf die Angabe grundlegender Lehrbücher und Monographien, die den Stoff des vorliegenden Buches ergänzen und vertiefen. (Die Hinweise auf die Urheber im Text behandelter Aussagen sind freilich leider weder im Text noch im Literaturverzeichnis genauer ausgeführt und die Originalarbeiten daher mitunter schwer identifizierbar; im Falle von Satz 2.55 wird etwa auf [G. Peano, Math. Ann. 37, 182–228 (1890; JFM 22.0302.01)] kryptisch als “Peano 1980” verwiesen.)
Obwohl die vorliegende Ausgabe keine Übungsaufgaben enthält, kann man das Buch auch als Grundlage für das Selbststudium dennoch empfehlen. Als ergänzende Lektüre empfiehlt sich für an den Anwendungen auf nichtlineare partielle Differentialgleichungen interessierten Leser vor allem das Buch von R. E. Showalter [“Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations” (Math. Surv. Mon. 49, AMS, Providence) (1997; Zbl 0870.35004)].

MSC:

46-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to functional analysis
47-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to operator theory
47H05 Monotone operators and generalizations
47H10 Fixed-point theorems
47H11 Degree theory for nonlinear operators
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