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Heine’s basic transform and a permutation group for \(q\)-harmonic series. (English) Zbl 1052.11053

Für \(x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\) bezeichne \(\mu(x)\) das Infimum aller \(\mu \in \mathbb{R}\), für die die Ungleichung \(|x - a/b| < b^{-\mu}\) höchstens endlich viele Lösungen \((a,b) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\) hat; \(\mu(x)\;(\geq 2)\) heißt der Irrationalitätsexponent von \(x\). Der Verfasser beweist hier \[ \mu(h_p(1)) < 2,46498,\tag{\(*\)} \] wobei \(h_p(1):= \sum_{n\geq 1} (p^n -1)^{-1}\) bei \(p \in \mathbb{Z} \setminus \{0,\pm1\}\) die \(q\)-harmonische Reihe \(\sum_{n\geq1} q^n/(1-q^n)\) für \(q=1/p\) bedeutet. Haupthilfsmittel seines Beweises sind (analytisch) eine auf E. Heine zurückgehende Transformationsformel für gewisse \(q\)-hypergeometrische Reihen und (arithmetisch) die genaue Untersuchung einer mit der \(q\)-harmonischen Reihe zusammenhängenden Permutationsgruppe der Ordnung 12 (eine Idee, die auf G. Rhin und C. Viola zurückgeht).
\((\ast)\) verschärft das frühere Ergebnis \(\mu(h_p(1)) \leq 2\pi^2/(\pi^2-2) = 2,50828\dots\) von K. Väänänen und dem Referenten [Compositio Math. 91, 175–199 (1994; Zbl 0802.11027)], das W. van Assche [Ramanujan J. 5, 295–310 (2001; Zbl 1035.11032)] mit anderen Methoden wiederfand. \((\ast)\) ist auch schärfer als das vom Verfasser in Theorem 1 von [Manuscr. Math. 107, 463–477 (2002; Zbl 1044.11068)] behauptete \(\mu(h_p(1))<2,49847,\) das mit einem Rechenfehler behaftet zu sein scheint.

MSC:

11J82 Measures of irrationality and of transcendence
33D15 Basic hypergeometric functions in one variable, \({}_r\phi_s\)
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