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Ueber die Zerlegbarkeit einer ebenen Linie dritter Ordnung in drei gerade Linien. (German) JFM 11.0088.02

Brioschi hat in den Annali di Mat. (2) VII. (siehe F. d. M. VII. p. 62. 1875, JFM 07.0062.02) unter Zugrundelegung der speciellen Gleichungsform \[ f=x_3^3-3ux_3+2v \] die drei Bedingungen für das Zerfallen der Curve \(3^{\text{ter}}\) Ordnung in drei Gerade abgeleitet. Der Verfasser stellt dieselben Bedingungen in invarianter Bildung für die allgemeine Form \(f\) auf, indem er zuerst \(f\) linear in die Brioschi’sche Form überführt und dann dessen Gedankengang anwendet. Dabei wird auch der früher vermisste Fall, dass die Hesse’sche Form \(\Delta\) von \(f\) identisch verschwindet, also die drei Geraden durch einen Punkt gehen, mitbehandelt. Als Resultat ergiebt sich:
Die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Zerlegbarkeit von \(f(xxx)=0\) in drei Gerade sind \[ \begin{matrix} Tf(nnn)-S\Delta(nnn)=0,\\ Sf^2(nnn)-6\Delta^2(nnn)=0,\\ 3\varphi(n)f(nnn)-\Delta^3(nnn)=9,\end{matrix} \] wobei \(n\) ein beliebiger, der Linie dritter Ordnung nicht angehöriger Punkt ist. Ebenso sind die nothwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Zerlegbarkeit in 3 Gerade eines Büschels: \[ S=0, T=0,\Delta(nnn)=0,\varphi(n)=0. \] Die Bezeichnungen sind die bekannten (Clebsch und Gordan, Clebsch Ann. VI. p. 436. 1873).
Diese Bedingungen zeichnen sich dadurch aus, dass sie nur für einen Punkt \(n\), der nicht auf \(f\) liegt, zu bestehen brauchen, während die Bedingungen sonst (vgl. Gundelfinger, Clebsch Ann. IV. 561. 1871) so ausgesprochen werden, dass sie für alle Punkte \(n\) identisch zu gelten haben.
Am Schlusse giebt der Verfasser eine Anwendung auf die Frage, unter welchen Bedingungen eine Curve \(3^{\text{ter}}\) Ordnung ein Polardreieck in Bezug auf einen gegebenen Kegelschnitt ist.

Citations:

JFM 07.0062.02
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