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An essay on the calculus of enlargement. (English) JFM 11.0196.02

Der Calculus of Enlargement, die Vergrösserungsrechnung, ist in gewisser Hinsicht eine Ausdehnung der Rechnung mit endlichen Differenzen, in anderer Hinsicht eine Modification des Operationen-Calculs. Ein wesentlicher Zweig des neuen Calculs ist die Differential- und Interalrechnung, einschliesslich der Variationsrechnung. Die Basis des Calculs ist die bekannte Operation \[ E=1+\varDelta , \] oder die Operation \[ E^h x=x+h, \]
\[ E^h \varphi (x)=\varphi (x+h). \] Das \(E\) ist zugleich das fundamentale Symbol; andere Symbole werden nur dann gebraucht, wenn sie Functionen von \(E\) sind, wie z. B. das Symbol der Differentiation \( \frac d{dx} \) oder \(D\), wenn \[ D=\log E. \] Auf diese Weise wird die symbolische Methode zu einem Wissenschaftszweige, und es werden die durch solche Symbole bezeichneten Operationen genau dfinirt und vollständig discutirt. Die Gleichung \[ E=\varepsilon ^D \] oder ihre Umkehrung \[ D=\log E \] bildet gleichsam das Band zwischen der Differentialrechnung und dem Operationen-calcul. Die Differentialtion ist diejenige Operation, deren Symbol der Logarithmus des Symbols der Vergrösserung ist. Man hat \[ D\varphi (x)= \frac {\varphi (x+h)-\varphi (x)}h \quad (h=0). \] Da nun \(D\) eine Function von \(E\) ist, so gelten alle Theoreme, die für \(\varphi (E)\) gefunden sind, auch für \(D\), folglich allgemein auch für \(\psi (D)\), wenn \[ \varphi (x)=\psi (\log x) \] gesetzt wird. Jedes Theorem in der Theorie der Logarithmen führt zu einem entsprechenden Theorem in der Theorie der Differentiation.
Der Herr Verfasser beginnt nun mit der Theorie der Logarithmen (\(\S\) 8-20). Alle Sätze für diese fliessen aus der als Definition zu Grunde gelegten Reihe Mercator’s: \[ \log (1+x)=x-\frac 12 x^2 +\frac 13 x^3-\cdots . \] Wird der Antilogarithmus von \(y\) durch das Symbol \(\varepsilon ^y\) bezeichnet, und definirt durch die Reihe \[ x=1+y+\frac 12 y^2 +\frac 1{2.3}y^3+\cdots , \] so ergiebt sich für ganz beliebige Werthe von \(x\) und \(y\) \[ \varepsilon ^x\varepsilon ^y = \varepsilon ^{x+y} . \] Auf die Theorie der Lgarithmen folgt dann (\(\S\) 21-34) eine allgemeine Theorie der Operationen. Hierbei werden folgende drei algebraische Gesetze zu Grunde gelegt: \[ x(y+z)=xy+xz, \]
\[ xy=yx, \]
\[ x^m x^n = x^{m+n}, \] d. h. das Gesetz der Distribution, der Commutation und der Indices. Aus der Definition von \(E^h\) als Symbol der Operation, die \(\varphi (x)\) in \( \varphi (x+h)\), was auch \(h\) bedeute, verwandelt, fliesst dann die Theorie der Functionen von \(E\) (\(\S\) 35-40). Darauf folgt eine analytische Theorie der Differentiation (\(\S\) 41-59), worin Taylor’s Theorem entwickelt wird, und für \(D\), als Function von \(E\), allgemeine, allen solchen Functionen zukommende Eigenschaften aufgestellt werden. Der nächste Abschnitt (\(\S\) 60-78) behandelt eingehender die Natur der Operation der Differentiation, wie sie durch die symblische Definition \(D=\log E\) gegeben ist. Daran schliesst sich eine Theorie der Factoriellen (\(\S\) 79-103), und im letzten Abschnitt die Theorie des Multiplications-Calculs (\(\S\) 104-114), der darin besteht, dass man nicht \(h\) zu \(x\) addirt, sondern \(\varphi (x)\) in \(\varphi (x\varepsilon ^h)\) verwandelt.

MSC:

26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems
26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type
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