McClintock, E. An essay on the calculus of enlargement. (English) JFM 11.0196.02 Am. J. II, 101-161 (1879). Der Calculus of Enlargement, die Vergrösserungsrechnung, ist in gewisser Hinsicht eine Ausdehnung der Rechnung mit endlichen Differenzen, in anderer Hinsicht eine Modification des Operationen-Calculs. Ein wesentlicher Zweig des neuen Calculs ist die Differential- und Interalrechnung, einschliesslich der Variationsrechnung. Die Basis des Calculs ist die bekannte Operation \[ E=1+\varDelta , \] oder die Operation \[ E^h x=x+h, \]\[ E^h \varphi (x)=\varphi (x+h). \] Das \(E\) ist zugleich das fundamentale Symbol; andere Symbole werden nur dann gebraucht, wenn sie Functionen von \(E\) sind, wie z. B. das Symbol der Differentiation \( \frac d{dx} \) oder \(D\), wenn \[ D=\log E. \] Auf diese Weise wird die symbolische Methode zu einem Wissenschaftszweige, und es werden die durch solche Symbole bezeichneten Operationen genau dfinirt und vollständig discutirt. Die Gleichung \[ E=\varepsilon ^D \] oder ihre Umkehrung \[ D=\log E \] bildet gleichsam das Band zwischen der Differentialrechnung und dem Operationen-calcul. Die Differentialtion ist diejenige Operation, deren Symbol der Logarithmus des Symbols der Vergrösserung ist. Man hat \[ D\varphi (x)= \frac {\varphi (x+h)-\varphi (x)}h \quad (h=0). \] Da nun \(D\) eine Function von \(E\) ist, so gelten alle Theoreme, die für \(\varphi (E)\) gefunden sind, auch für \(D\), folglich allgemein auch für \(\psi (D)\), wenn \[ \varphi (x)=\psi (\log x) \] gesetzt wird. Jedes Theorem in der Theorie der Logarithmen führt zu einem entsprechenden Theorem in der Theorie der Differentiation.Der Herr Verfasser beginnt nun mit der Theorie der Logarithmen (\(\S\) 8-20). Alle Sätze für diese fliessen aus der als Definition zu Grunde gelegten Reihe Mercator’s: \[ \log (1+x)=x-\frac 12 x^2 +\frac 13 x^3-\cdots . \] Wird der Antilogarithmus von \(y\) durch das Symbol \(\varepsilon ^y\) bezeichnet, und definirt durch die Reihe \[ x=1+y+\frac 12 y^2 +\frac 1{2.3}y^3+\cdots , \] so ergiebt sich für ganz beliebige Werthe von \(x\) und \(y\) \[ \varepsilon ^x\varepsilon ^y = \varepsilon ^{x+y} . \] Auf die Theorie der Lgarithmen folgt dann (\(\S\) 21-34) eine allgemeine Theorie der Operationen. Hierbei werden folgende drei algebraische Gesetze zu Grunde gelegt: \[ x(y+z)=xy+xz, \]\[ xy=yx, \]\[ x^m x^n = x^{m+n}, \] d. h. das Gesetz der Distribution, der Commutation und der Indices. Aus der Definition von \(E^h\) als Symbol der Operation, die \(\varphi (x)\) in \( \varphi (x+h)\), was auch \(h\) bedeute, verwandelt, fliesst dann die Theorie der Functionen von \(E\) (\(\S\) 35-40). Darauf folgt eine analytische Theorie der Differentiation (\(\S\) 41-59), worin Taylor’s Theorem entwickelt wird, und für \(D\), als Function von \(E\), allgemeine, allen solchen Functionen zukommende Eigenschaften aufgestellt werden. Der nächste Abschnitt (\(\S\) 60-78) behandelt eingehender die Natur der Operation der Differentiation, wie sie durch die symblische Definition \(D=\log E\) gegeben ist. Daran schliesst sich eine Theorie der Factoriellen (\(\S\) 79-103), und im letzten Abschnitt die Theorie des Multiplications-Calculs (\(\S\) 104-114), der darin besteht, dass man nicht \(h\) zu \(x\) addirt, sondern \(\varphi (x)\) in \(\varphi (x\varepsilon ^h)\) verwandelt. Reviewer: Müller, F., Dr. (Berlin) Cited in 2 ReviewsCited in 1 Document MSC: 26A24 Differentiation (real functions of one variable): general theory, generalized derivatives, mean value theorems 26A42 Integrals of Riemann, Stieltjes and Lebesgue type JFM Section:Sechster Abschnitt. Differential- und Integralrechnung. Capitel 1. Allgemeines (Lehrbücher etc.) Keywords:Differential and integral calculus PDFBibTeX XMLCite \textit{E. McClintock}, Am. J. Math. 2, 101--161 (1879; JFM 11.0196.02) Full Text: DOI