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Die Definition der geometrischen Gebilde durch Construction ihrer Polarsysteme. (German) JFM 11.0444.03

Schlömilch Z. XXIV, 221-229 (1879); XXIV, 276-284 (1879).
Dass ein Netz von Curven, bez. ein Gebüsche von Flächen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung im allgemeinen nicht das Netz, bez. Gebüsche der ersten Polaren für eine Curve, Fläche \((n+1)^{\text{ter}}\) Ordnung ist, ist bekannt. Es handelt sich also darum, solche Polar-Systeme zu construiren. Der Verfasser thut es für den Fall der Flächen, unter der Voraussetzung, dass, was für \(n\) zu beweisen ist, für \(n-1\) richtig ist. Es hätte sich vielleicht empfohlen, den zunächst interessanden Fall \(n=2\), also den des Polarsystems der Flächen dritter Ordnung, der ja überdies bisweilen eine besondere Behandlung erfordert, voranzuschicken, um das Verständis des allgemeinen Falles zu erleichtern. Einem Punkte \(a\) wird eine beliebige Fläche \(A_a^n\) als Polarfläche zugeordnet; die einem zweiten \(b\) zugeordnete \(A_b^n\) ist nicht meht ganz willkürlich, denn wegen der Eigenschaft der gemischten Polaren muss die erste Polare \(A_{ab}^{n-1}\) von \(b\) nach \(A_a^n\) die erste Polare von \(a\) für \(A_b^n\) sein. Man kann, in Folge der obigen Voraussetzung, dieser Bedingung genügen; dann zeigt sich, dass jedem Punkte \(x\) von \(ab\) eine Fläche \(A_x^n\) des Büschels \((A_a^n,\;A_b^n)\) zugeordnet ist, derartig, dass, wenn \(x,\;y\) beide auf \(ab\) liegen, sie und ihre Polarflächen der Eigenschaft gemischter Polaren genügen. Wenn nun \(c\) ausserhalb \(ab\) liegt, so muss \(A_c^n\) so beschaffen sein, dass die Polaren \(A_{ac}^{n-1},\;A_{bc}^{n-1}\) von \(c\) nach \(A_c^n\) und \(A_b^n\) für sie die Polaren von \(a,\;b\) sind. Es sei \(A_c^n\) eine dieser Bedingung genügende Fläche. Dann ist auch \(A_{xc}^{n-1}\) für dieselbe Fläche Polare von \(x\); (\(n\)=2 erfordert, weil es von Ebenen keine Polare mehr giebt, einen besonderen Beweis). Jedem Punkte der Ebene \(abc\) wird nun eine Fläche zugeordnet, alle bilden einen Bündel, die einerGeraden in \(abc\) zugehörigen darin einen Büschel, und jede zwei derselben mit ihren Polen genügen der Eigenschaft der gemischten Polaren.
Endlich wird noch ein vierter Punkt \(d\) ausserhalb \(abc\) genommen; für die ihm zugeordnete Fläche \(A_d^n\) müssen zunächst die Polaren \(A_{ad}^{n-1},\;A_{bd}^{n-1},\;A_{cd}^{n-1}\) von \(d\) nach \(A_a^n,\;A_b^n,\;A_c^n\) die Polaren von \(a,\;b,\;c\) sein. Hier wäre der Fall \(n=2\) doch etwas ausführlicher zu behandelt gewessen und zu zeigen, dass dies nicht neun, sondern acht Bedingungen für \(A_d^n\) sind; eine Andeutung ist freilich gemacht in den ersten Zeilen von S. 225; aber wegen des vielfachen Interesses, das grade dieser Fall erregt hat, schien grössere Ausführlichkeit geboten. Sind für eine Fläche zweiter Ordnung zwei Mal Pol und Polarebene \(a,\;A_a;\;b,\;A_b\) gegeben, dann berühen sich alle \(\infty^3\) Flächen in zwei Punkten, nämlich den Doppelpunkten der Involution \(aa',\;bb'\), wenn \(a',\;b'\) die Spuren von \(A_a,\;A_b\) auf \(ab\) sind. Ist \(c_1\) der Schnitt der \(ab\) mit der Ebene, welche einen beliebigen dritten Pol \(c\) mit \((A_a,\;A_b)\) verbindet, so muss die Polarebene \(A_c\) von \(c\) durch den \(c_1\) in der Involution zugeordnet Punkt \(c'\) gehen. Thut sie es nicht, so genügt keine allgemeine Fläche, sondern die doppelte Ebene \(abc\) oder dual der doppelte Punkt \((A_a,\;A_b,\;A_c)\). Geht aber \(A_c\) durch \(c'\), so ist die Bedingung, dass \(c\) und \(A_c\) Pol und Polarebene sein sollen, nun blos noch eine zweifache, also giebt es dann einfach unendlich viele Flächen zweiten Grades, für welche \(a\) und \(A_a,\;b\) und \(A_b,\;c\) und \(A_c\) Pole und Polarebenen sind; sie berühen sich längs eines in der Ebene \(abc\) befindlichen Kegelschnitts.
Dass nun in unserm Falle die \(a,\;b,\;c\) und \(A_a,\;A_b,\;A_c\), so wie sie oben construirt, eine solche Lage haben, dass \(A_c\) durch \(c'\) geht, dafür scheint es, wie gesagt, etwas grösserer Ausführlichkeit des Beweises zu bedürfen.
Die einfache Unendlichkeit der \(A_d^2\) ergiebt sich nachher in dem Summanden \(-f(n-3)\), der für \(n>2\) null oder negativ, für \(n=2\) aber \(-(-1)=+1\) wird, was doch noch geometrisch aufzuklären ist.
Ist nun \(A_d^n\) der obigen Bedingung gemäss construirt, so zeigt sich für jeden Punkt \(z\) des Raumes eindeutig eine Fläche \(A_z^n\) ergiebt; den Punkten einer Geraden, Ebene entsprechen Flächen eines Büschels, Bündels, und jede zwei genügen mit ihren Polen der Eigenschaft der gemischten Polaren. Das Polarsystem ist construirt. Man nehme nun an, dass ein Polarsystem (oder eine Fläche) \(A^n\) durch \(f(n)\) Bedingungen bestimmt sei, so folgt aus dem Vorhergehenden, dass \(A_a^n,\;A_b^n,\;A_c^n,\;A_d^n\) noch resp. \(f(n),\;f(n)-f(n-1),\;f(n)-2f(n-1)+f(n-2),\;f(n)-3f(n-1)+3f(n-2)-f(n-3)\) Bedingungen auferlegt werden können, \((n>3)\). Daraus ergiebt sich, dass für \(A^{n+1}\) \[ f(n+1)=4f(n)-6f(n-1)+4f(n-2)-f(n-3). \] Für \(p\)=1, 2, 3, 4 ist nun \[ f(p)=\frac 16(p+1)(p+2)(p+3)-1; \] demnach liefert die Functionalgleichung, dass dies durchweg der Fall ist. Also bilden die Polarsysteme \((n+1)^{\text{ter}}\) Ordnung mindestens eine \(f(n+1)\)-fache Mannigfaltigkeit. In den folgenden Paragraphen werden die verschiedenen linearen Mannigfaltigkeiten erster, zweiter, dritter Stufe behandelt; jedoch mangelt es, wie dem Ref. scheint, dieser Darstellung noch etwas an Klarheit. Z. B. gleich der erste Abschnitt des vom Büschel handelnden §2 enthält eine dem Ref. nicht verständliche Stelle. Der Verfasser vergleicht, wenn Ref. ihn recht versteht, die doppelte Mannigfaltigkeit, die sich durch die Büschel \((A_a^n,B_a^n),\;(A_b^n,B_b^n),\;\ldots\), der Polarflächen der Punkte einer Geraden \(ab\) in den beiden constituirenden Polarsystemen \(A^{n+1},\;B^{n+1}\) ergiebt, mit den Punkten einer Regelfläche zweiten Grades; aber eine zweifache lineare Mannigfaltigkeit von Punkten ist letztere doch nicht, und es ist nicht der Fall, dass eine einfache lineare Mannigfaltigkeit (Punktreihe) mit ihr ein oder alle Elemente gemein hat; so ist es auch bei der Mannigfaltigkeit der Flächen: die Ableitung des zweiten Systems von Büscheln bedürfte also doch einer gründlicheren Erörterung.
Bei einer \(\{f(n)+1\}\)-fachen Mannigfaltigkeit von Polarsystemen \((n+1)^{\text{ter}}\) Ordnung findet sich, dass es einen Büschel giebt, für dessen sämmtliche Elemente ein gegebener Punkt und eine gegebene Fläche \(n^{\text{ter}}\) Ordnung Pol und Polare sind; weil eben die Flächen \(n^{\text{ter}}\) Ordnung nur \(f(n)\)-fach unendlich sind. Aus diesem Grunde ist es nicht selbstverständlich, dass die Mannigfaltigkeit der Polarsysteme \((n+1)^{\text{ter}}\) Ordnung nicht über \(f(n+1)\) herausgeht; der §5 beweist dies deshalb. Der nächste Paragraph behandelt die niedrigeren Polaren, die Ordnungsfläche, den Specialfall, dass die sämmtlichen Flächen des Polarsystems einen Punkt gemein haben, der dann ein Knotenpunkt der Ordnungsfläche ist.

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