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On linearly dependent systems of points. (Ueber linear-abhängige Punktsysteme.) (German) JFM 11.0484.02
Nennt man einen Punkt, der eine binäre, ternäre, quaternäre Form zu Null macht, einen Nullpunkt derselben, so ist ein linear abhängiges System von \(p\) Punkten ein solches, bei dem jede Form eines gewissen Grades, für die \(p-1\) von den Punkten Nullpunkte sind, auch den letzten zum Nullpunkte hat. So induciren bei einer ternären Form \(n^{\text{ten}}\) Grades, wenn \(N =\tfrac{1}{2}n (n +3)\) ist, \(N-1\) Nullpunkte stets \(n^2 -N+1\) andere und veranlassen abhängige Systeme von \(N\) Nullpunkten.
Herr Rosanes dehnt dies auf zwei Variablensysteme aus. Zwei Punkte \(x, y\), zwei Punktreihen angehörig, deren Coordinaten \(x_1 x_2, y_1 y_2\) die bilineare Form \[ f (x,y) =a_{11} x_1 y_1 +a_{12} x_1 y_2 +a_{21} x_2 y_1 +a_{22} x_2 y_2 \] zu Null machen, heissen ein Nullpaar derselben. Vier Nullpaare \(x^1 y^1, x^2 y^2, x^3 y^3, x^4 y^4\) derselben Form sind in Abhängigkeit; es lassen sich vier Grössen \(k_1, \ldots, k_4\) finden, so dass \[ a) \quad k_1 f(x^1, y^1) +k_2 f(x^2, y^2) +k_3 f(x^3, y^3) +k_4 f( x^4, y^4) =0 \] ist für alle Werthe des \(a_{ik}\), so dass jede Form, die durch drei von ihnen zu Null wird, es auch durch das vierte wird. Also kann man auch \(a_{ik}\) durch \(u_i v_i\) ersetzen, so dass \(a)\) übergeht in: \[ b) \quad k_1 u( x^1) v (y^1) + \cdots +k_4 u( x^4) \; v (y^4) =0 \] für alle Werthe der \(u_i, v_k\), wofern \[ u( x) = u_1 x_1 +u_2 x_2, \quad v(y) =v_1 y_1 +v_2 y_2. \] Die vier Nullpaare bilden offenbar zwei projective Würfe.
Es seien bei ternären Formen \(x_1, x_2, x_3; y_1, y_2, y_3\) zwei gleichartige Variablensysteme, Coordinaten der Punkte zweier Ebenen; \(u_1, u_2, u_3; v_1, v_2, v_3,\) die contragredienten Variablen, die Coordinaten der Geraden der Ebenen; so werden die bilinearen Formen \[ \left.\begin{aligned} f(xy) & =\varSigma a_{\chi \lambda} x_{\chi} y_{\lambda}, \\ \varphi (u, v) & =\varSigma \alpha{ \chi \lambda} u_{\chi} v_{\lambda} \end{aligned} \right\} (\kappa, \lambda =1, 2, 3) \] betrachtet. Im Allgemeinen ist \(a_{\chi \lambda}\) oder \(\alpha_{ \chi \lambda}\) nicht gleich \(a_{ \lambda k}\), bez. \(\alpha_{ \lambda k}\); ist dies der Fall, so heissen die Formen symmetrisch. Denkt man sich dann die Ebenen und Coordinatensysteme identisch, so sind die Nullpaare von \(f\) oder \( \varphi\) conjugirte Punkte, bez. Gerade in Bezug auf \(f( x,x)=0,\) bez. \(\varphi( u,u)=0.\) Zerfällt \(f(x, y)\) in zwei lineare Formen: \[ f( x,y) =p(x) \; q(y) =(p_1 x_1 +p_2 x_2 +p_3 x_3) \;( q_1y_1 +q_2y_2 +q_3 y_3), \] so haben wir eine specielle Form, deren Nullpaare sich auf zwei Gerade \(p, q\) vertheilen; ebenso bei \(\varphi (u,v).\) Besteht zwischen den Coefficienten \(a_{i \chi}, \alpha_{i \chi}\) die Beziehung \(\varSigma a_{\chi \lambda} \alpha_{ \chi \lambda} =0,\) so heissen \(f\) und \(\varphi\) conjugirt: Die speciellen Formen, welche einer Form conjugirt sind, sind deren Nullpaare.
Den sämmtlichen Formen, welche aus \(p\) Formen linear abgeleitet sind und eine \(p-\)gliedrige Gruppe bilden, sind die Formen einer \((9-p)-\)gliedrigen Gruppe conjugirt. Der Verfasser hebt den Fall \(p=4\) hervor: Eine viergliedrige Gruppe hat sechs gemeinsame Nullpaare (die conjugirte fünfgliedrige hat also sechs specielle Formen), diese bilden ein linear abhängiges System von sechs Punktepaaren, und zu fünf Paaren giebt es nur ein sechstes. Sie erfüllen die Identität: \[ c) \quad \kappa_1 u( x^1) v (y^1) +\cdots + \chi_6 u( x^6) v(y^6) =0 \] für alle Werthe der \(u_i, v_i\).
Betrachtet man nun nur solche \(u_i, v_i\), für die \[ d) \begin{cases} u(x^5) =u_1 x_1^5 +u_2 x_2^5 +u_3 x_3^5=0, \\ v(y^6) =v_1 y_1^6 + v_2 y_2^6 +v_3 y_3^6=0, \end{cases} \] d. h. nur Gerade \(u, v\) durch \(x^5, y^6,\) und bezeichnet die aus \(u(x^i), v( y^i)\) durch Elimination von \(u_3, v_3\) vermöge \(d)\) sich ergebenden Grössen mit \(\overline{u(x^i)}\), \(\overline{v(y^i)},\) so hat man aus \(c)\): \[ e) \quad k_1 \overline{u (x^1)} \overline{v (y^1)} + \cdots + k_4 \overline{u( x^4)} \overline{v (y^4)} =0, \] d. h. die Strahlen, welche \(x^1, x^2, x^3, x^4\) aus \(x^5\) und \(y^1, y^2, y^3, y^4\) aus \(y^6\) projiciren, bilden ein linear abhängiges System von vier Strahlenpaaren oder zwei projective Würfe. Ebenso ergiebt sich \[ x^4 (x^1 x^2 x^3 x^5) \barwedge y^6 (y^1 y^2 y^3 y^5). \] Also ist das sechste Paar \(x^6y^6\) gerade dasjenige, das der Referent Clebsch Ann. I. p. 533. No. 6, (F. d. M. II. p. 428, JFM 02.0428.02) als das Paar der Punkte \(b_0 \beta_0\) gefunden hat, die mit zwei Gruppen von Punkten \[ b_1, \ldots, b_5, \beta_1, \ldots ,\beta_5 \] so verbunden sind, dass, wenn \(p, \pi\) irgend welche Punkte der Kegelschnitte \((b_1 \ldots b_5),\) bez. \((\beta_1 \ldots \beta_5)\) sind, \[ b_0 (b_1 b_2 b_3 b_4 b_5) \barwedge \pi (\beta_1 \beta_2 \beta_3 \beta_4 \beta_5) \] und \[ \beta_0 ( \beta_1 \beta_2 \beta_3 \beta_4 \beta_5) \barwedge p( b_1 b_2 b_3 b_4 b_5). \] Jede bilineare Form, welche durch fünf der sechs Paare annullirt wird, wird es auch durch das sechste; also (wenn die Ebenen identisch sind) giebt dies auf eine symmetrische Form angewandt, dass die sechs Punktepaare in Bezug auf denselben Kegelschnitt conjugirt sind. Bei Beschränkung auf symmetrische Formen findet sich, dass ein abhängiges System von drei Punktepaaren stets aus den Gegenecken eines vollständigen Vierseits besteht (Hesse’scher Satz), ein abhängiges System von vier Punktepaaren – also beschaffen, dass für jeden Kegelschnitt, für den drei Paare conjugirt sind, es auch das vierte ist – hat die Eigenschaft, dass drei Paare aus jedem der beiden Punkte des vierten durch eine Involution projicirt werden, und die Punkte des vierten Paares also durch die conjugirten Punkte der Hesse’schen Curve des Netzes von Kegelschnitten gebildet werden, für welche die drei ersten Paare conjugirt sind.
Im quaternären Gebiete wird für allgemeine bilineare Formen nur ein bemerkenswerthes abhängiges System hervorgehoben. Sind sechs Punktepaare \(x^1 y^1, \ldots ,x^6 y^6\) gegeben, und kennt man zwei Punkte \(x^7, y^8\), aus denen jene durch ein abhängiges System projicirt werden, so giebt es stets zwei Punkte \(x^8 y^7,\) so dass \(x^1 y^1, \ldots, x^8y^8\) ein abhängiges System bilden, d. h. es ist \[ k_1 u(x^1) .v(y^1) + \cdots+ k_8 u(x^8). v(y^8)=0. \] Jede sechs Paare desselben werden aus dem \(x\) des siebenten und dem \(y\) des achten durch ein abhängiges System projicirt. Jede Fläche zweiter Ordnung, für welche sieben Paare conjugirt sind, hat auch die Punkte des achten zu conjugirten. Dass die zu sechs Paaren gehörigen \(x^7, y^8\) (und \(x^8, y^7\)) Flächen zweiten Grades erzeugen, beweist Rosanes in einer Fortsetzung des Aufsatzes Borchardt J. XC. p. 303. Der Fall der acht Schnittpunkte von drei \(F^2\) ist hiervon ein Specialfall.
Beschränkt man sich wiederum auf symmetrische Formen und demnach auf Paare von conjugirten Punkten einer \(F^2\), so hat man folgende Sätze:
Drei abhängige Paare bilden stets die Ecken eines vollständigen ebenen Vierseits. Zu drei Paaren giebt es im Allgemeinen nicht ein viertes, so dass ein abhängiges System entsteht; wenn aber jene aus einem Punkte \(x^4\) in die Ecken eines vollständigen Vierseits projicirt werden, dann giebt es noch einen \(y^4\), für den dasselbe gilt, und man hat ein abhängiges System. In den Ecken zweier derselben \(F^2\) aufgeschriebenen geradlinigen Vierecke hat man ein solches System.
Vier beliebige Paare kann man auf sechs Weisen durch ein fünftes zu einem abhängigen Systeme vervollständigen. Die zwanzig Punkte, die man so erhält, sin so beschaffen, dass neun Paare aus einem Punkte des zehnten in neun Paare conjugirter Punkte einer Curve dritter Ordnung projicirt werden.
Im letzten Paragraphen werden noch kurz trilineare (ternäre) Systeme mit ihren Nulltripeln behandelt und ein abhängiges System von sechs Tripeln betrachtet, wobei sich auch die neunte gemeinsame Tangente zweier Curven dritter Classe ergiebt.

MSC:
51N35 Questions of classical algebraic geometry
11E99 Forms and linear algebraic groups
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Full Text: Crelle EuDML