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Lectures on number theory. Carl Gustav Jacob Jacobi, winter semester 1836/37, Königsberg. (Vorlesungen über Zahlentheorie. Carl Gustav Jacob Jacobi, Wintersemester 1836/37, Königsberg.) (German) Zbl 1148.11003
Algorismus 62. Augsburg: ERV Dr. Erwin Rauner Verlag (ISBN 978-3-936905-25-0/pbk). xxv, 330 p. (2007).
In ihrem Vorwort schreiben die Herausgeber: “Hiermit legen wir eine kommentierte Abschrift der Zahlentheorie Vorlesung vor, welche C. G. Jacobi im Wintersemester 1836/37 an der Universität Königsberg gehalten hat. Diese Vorlesung hat J. Georg Rosenhain handschriftlich ausgearbeitet; die entsprechende Mitschrift (267 Seiten) befindet sich im Jacobi-Nachlass des Archivs der Berlin-Brandenburgischen Akademie der Wissenschaften in Berlin…
Die Vorlesung beginnt mit den Grundlagen der elementaren Zahlentheorie, geht dann recht schnell auf die Gauss’sche Theorie der Kreisteilung ein, dessen Ergebnisse Jacobi durch ein genaues Studium von Gauss- und Jacobi-Summen weiterführt, und gibt dann als Anwendungen die Reziprozitätsgesetze für quadratische, kubische und biquadratische Reste, sowie Ergebnisse, die wir heute als Konstruktion von Annihilatoren der Idealklassengruppe von Kreiskörpern bezeichnen würden, welche zum Teil gleichzeitig von Cauchy [68] gefunden, und später von Kummer und Stickelberger wiederentdeckt und ausgebaut wurden…”
Das Vorwort beschreibt weitere interessante Verbindungen zwischen der Jacobischen Vorlesung und den zahlentheoretischen Arbeiten von anderen Mathematikern, insbesondere von Eisenstein und Kummer. Das dann folgende Inhaltsverzeichnis enthält eine Auflistung der Überschriften der einzelnen Vorlesungsteile. Diese wurden von den Herausgebern mit kurzen Inhaltsangaben versehen, die insbesondere die von Jacobi benutzten Bezeichnungen in eine heutzutage übliche Version übertragen, und mit kurzen Kommentaren, in denen auch auf nachfolgende Untersuchungen hingewiesen wird. Durch diese Erläuterungen wird die Lektüre der Jacobischen Vorlesung sehr erleichtert. Weitere nützliche und erhellende Kommentare geben die Herausgeber in Fussnoten zu einzelnen Teilen der Vorlesung, insbesondere zu denjenigen Teilen, in denen Jacobi ausführlich die Theorie der Gauss’schen Summen und der nach ihm benannten Jacobischen Summen sowie deren zahlentheoretische Anwendungen beschreibt. Nach Meinung des Referenten handelt es sich hierbei um den Kern der Jacobischen Vorlesung. Jacobis Ausführungen beeindrucken einerseits durch eine konzeptionelle Sichtweise und enthalten andererseits viele explizite Rechnungen und zahlentheoretische Anwendungen. Später hat Jacobi in lateinischer Sprache zahlreiche Zusätze geschrieben. Diese wurden von E. Knobloch ins Deutsche übertragen, und beide Versionen wurden von den Herausgebern mit in die vorliegende Ausgabe aufgenommen.
Gegen Ende des Buches findet man einige biographische Daten über Carl Gustav Jacob Jacobi und Johann Georg Rosenhain, eine Liste der zahlentheoretischen Arbeiten von Jacobi sowie weitere Literaturlisten, die insbesondere alle Titel enthalten, auf die in dieser Ausgabe Bezug genommen wird. Das Buch endet mit einem Namens- und Stichwortverzeichnis.
Die Herausgeber haben mit dem vorliegenden Buch einen wichtigen Beitrag zur Geschichte der Zahlentheorie geleistet, der möglicherweise auch für aktuelle Forschungen auf dem Gebiet der Gauss- und Jacobi-Summen von grossem Interesse sein könnte.

MSC:
11-03 History of number theory
01A55 History of mathematics in the 19th century
01-01 Introductory exposition (textbooks, tutorial papers, etc.) pertaining to history and biography
11L05 Gauss and Kloosterman sums; generalizations
11L99 Exponential sums and character sums
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