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On Fourier series. (Sur la série de Fourier.) (French) JFM 13.0184.01
Herr Jordan teilt folgenden Satz mit: “Es seien \(x_1 x_2\dots{}x_n\) eine Reihe von Werten des \(x\) im Intervalle \((0, \varepsilon), y_1 y_2\dots{}y_n\) die entsprechenden Werte einer (eindeutigen und endlichen) Function \(F(x)\). Die Punkte \(x_1, y_1,\dots{}x_n, y_n\) bilden ein Polygon. Die Summe der positiven Glieder der Reihe \[ y_2-y_1,\; y_3-y_2\;\dots{}\;y_n-y_{n-1} \] heisse die positive Schwankung des Polygones, die Summe ihrer negativen Glieder die negative Schwankung; die Summe der absoluten Werte beider Zahlen die vollständige Schwankung. Aendert man das Polygon ab, so können folgende Fälle eintreten: 1) Es kann so gewählt werden, dass seine Schwankungen jede Grenze übersteigen; 2) wie auch das Polygon gewählt werden mag, seine positive und negative Schwankung können gewisse feste Grenzen \(P_{\varepsilon}, N_{\varepsilon}\) nicht überschreiten. In letzterem Falle soll \(F(x)\) eine Function mit endlicher Schwankung im Intervalle \((0, \varepsilon)\) heissen; \(P_{\varepsilon}\) ihre positive, \(N_{\varepsilon}\) ihre negative, \(P_{\varepsilon}+N_{\varepsilon}\) ihre vollständige Schwankung.”
Dieses vorausgesetzt, folgt unmittelbar für alle Werte von \(x\) im Intervalle \((0, \varepsilon)\) \[ F(x)=F(0)+P_x-N_x, \] so dass \(F(x)\) als Differenz zweier Functionen erscheint, die im genannten Intervalle nicht abenehmen. Ist ferner \(F(x)\) im Intervalle \((-\pi, +\pi)\) endlich und integrabel, so kann man nun nach Dirichlet’s Vorgang schliessen, dass die Fourier’sche Reihe für jeden Wert von \(x\), in dessen Umgebung die Schwankungen endlich sind, die Summe \({1\over 2}[F(x-0)+F(x+0)]\) hat.

MSC:
26A45 Functions of bounded variation, generalizations
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