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On the theory of reciprocal properties. (Zur Theorie der reciproken Verwandtschaft.) (German) JFM 13.0529.01
Die im Bd. LXXXVIII. des Borchardt’schen J. (vgl. F. d. M. XI. 484-488 (JFM 11.0484.02)) von Herrn Rosanes entwickelte Theorie der linear-abhängigen Punktsysteme erfährt hier eine wesentliche Erweiterung, welche auch zu interessanten Verallgemeinerungen bekannter Eigenschaften der Kegelschnitte führt.
Linear-abhängig nennt Herr Rosanes ein System von \(p\) Punkten dann, wenn bei demselben jede Form eines gewissen Grades, fúr die \(p-1\) von den Punkten Nullpunkte sind, auch den letzten Punkt zum Nullpunkte hat, wobei man unter Nullpunkt einer binären, ternären oder quaternären Form einen Punkt zu verstehen hat, der diese Form zu Null macht. Zunächst wird analytisch durch die bilineare ternäre Form diejenige Verwandtschaft zweier Ebenen definirt, welche unter dem Namen der Reciprocität oder Correlation (Hirst, Sturm) der Gegenstand vieler rein geometrischer Untersuchungen geworden ist, und bei welcher jedem Punkte der einen Ebene eine Gerade in der andern Ebene und umgekehrt auch jeder Geraden der ersten Ebene ein Punkt in der zweiten Ebene entspricht. Von den Resultaten, zu denen der Verfasser gelangt, mögen hier die folgenden beiden Platz finden: 1) “Zerlegt man die sechs Punktepaare eines abhängigen Systems beliebig in zwei Gruppen von je drei Paaren, so bilden die zwölf Seiten dieser beiden Paare von Dreiecken ein abhängiges System von Geradenpaaren.” Der bekannte Satz, dass die sechs Seiten zweier Dreiecke, deren sechs Ecken auf einem Kegelschnitte liegen, einen andern Kegelschnitt berühren müssen, erscheint als specieller Fall dieses Satzes, sobald man bei jedem von den sechs erwähnten Punktepaaren die beiden Punkte, welche das Paar constituiren, zusammenfallen lässt. 2)“Ordnet man die zweimal sechs Ecken zweier vllständiger Vierseite \(a_1 a_2 a_3 a_4\) und \(b_1 b_2 b_3 b_4\) einander derartig zu, dass immer zwei Ecken ein Paar bilden, bei deren Bezeichnung durch die ihnen incidenten vier Seiten sämmtliche vier Indices auftreten, so erhält man sechs conjugirte Punktepaare eines und desselben Kegelschnitts.” Die Gleichung des Kegelschnitts, welcher durch diesen Satz, der neu sein dürfte, definirt wird, drückt der Verfasser durch die gegebenen Elemente aus.
Den Schluss der Abhandlung bildet die analoge Behandlung der bilinearen quaternären Form, wodurch sich analoge Sätze für Punktepaare, Ebenenpaare und Flächen zweiten Grades ergeben.

MSC:
51N35 Questions of classical algebraic geometry
15A03 Vector spaces, linear dependence, rank, lineability
14E07 Birational automorphisms, Cremona group and generalizations
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Full Text: Crelle EuDML